[A级双基巩固]一、填空题1．下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同；②三角形ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中假命题的序号为________．解析：①若a与b长度相等，方向相反，则a＋b＝0；③A，B，C三点可能在一条直线上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案：①③④2．(2012·扬州质检)若A、B、C、D是平面上任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有________个．解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD＝AD成立．答案：23．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴解得答案：－4．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a、b表示)．解析：由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，∴MN＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b5．(2012·福州质检)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在________．(P点位置)解析：由于CB＝λPA＋PB⇒CB＋BP＝λPA⇒CP＝λPA，根据共线向量的基本条件，则C，P，A三点共线．答案：直线AC上6．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD的形状为________．解析：由已知可得：AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b，故AD＝2BC，由向量共线定理可知AD∥BC且|AD|＝2|BC|，故四边形ABCD为梯形．答案：梯形7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则x＝________，y＝________.解析：由题可知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.答案：8．(2010·高考湖北卷改编)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析：由已知条件易得M为△ABC的重心，取BC的中点D，则AB＋AC＝2AD，又AM＝AD，故m＝3.答案：3二、解答题9．点D、E、F分别是△ABC三边AB、AC、BC的中点，求证：(1)AB＋BF＝AC＋CF；(2)FA＋EB＋DC＝0.证明：(1)如图，在△ABF中，AB＋BF＝AF，在△ACF中，AC＋CF＝AF，所以AB＋BF＝AC＋CF.(2) 点D、E、F分别是△ABC的三边AB、AC、BC的中点，∴四边形EDFC是平行四边形，ED＝－FC.又DA＝－DB，FD＝－DF，故FA＋EB＋DC＝(FD＋DA)＋(ED＋DB)＋(DF＋FC)＝(－DF＋DF)＋(－DB＋DB)＋(－FC＋FC)＝0.10．已知O、A、B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m、n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A、P、B三点共线；(2)若A、P、B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又因为BP与BA有公共点B，∴A、P、B三点共线．(2)若A、P、B三点共线，则BP与BA共线，故存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)．由条件mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.因O、A、B不共线，∴OA、OB不共线，由平面向量基本定理知∴m＋n＝1.[B级能力提升]一、填空题1.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点P，则OP用a，b表示为________．解析： OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na. a与b不共线，∴⇒.∴OP＝a＋b.答案：a＋b2．设D、P为△ABC内的两点且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD＋BC，则＝________.解析：由AD＝(AB＋AC)可知，点D在△ABC的中线AE上，且AD＝AE，由AP＝AD＋BC得DP＝BC，由平面几何知识可知＝.答案：3．若OA＝a，OB＝b，下列向量中能表示∠AOB平分线上的向量OM的是________．①＋；②λ，λ由OM确定；③；④λ，λ由OM确定．解析：由平面几何知识知∠AOB的平分线可视为以OA，OB所在线段为邻边的菱形的对角线OM所在的直线，故OM...
