1.已知点A(-1,2),B(2,8),AC=AB,DA=-BA,则CD的坐标为________.解析:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为AC=AB,DA=-BA,所以有和.解得和.所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4).答案:(-2,-4)2.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.解析:AB=(a-1,3),AC=(-3,4),据题意AB∥AC,∴4(a-1)=3×(-3),即4a=-5,∴a=-.答案:-3.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.解:设e1=BM,e2=CN,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线,所以存在实数μ、λ,使AP=λAM=-3λe2-λe1,BP=μBN=2μe1+μe2,∴BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.另外BA=BC+CA=2e1+3e2,,∴.∴AP=AM,BP=BN,∴AP∶PM=4∶1.4.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),则当λ为何值时,点P在第三象限?解:AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ).∴AP=(3+5λ,1+7λ).设P点的坐标为(x,y),则AP=(x-2,y-3),∴∴又∵点P在第三象限,∴即∴解得λ<-1,即当λ<-1时,点P在第三象限.5.如图所示,已知▱ABCD的两条对角线相交于点O,设AB=a,AD=b,试用基底{a,b}表示向量OA,OB,OC和OD.解:∵AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,且四边形ABCD是平行四边形,∴OA=-AC=-(a+b)=-a-b,OB=DB=a-b,OC=AC=a+b,OD=-DB=-a+b.6.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).(1)若a∥b,求tanθ的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.解:(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=.(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=12+22,所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是sin(2θ+)=-.又由0<θ<π知,<2θ+<,所以2θ+=或2θ+=.因此θ=或θ=.