[A级双基巩固]一、填空题1．(2011·高考福建卷)若a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝________.解析：a＝(1,1)，b＝(－1,2)，a·b＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1.答案：12．(2011·高考江西卷)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a和b的夹角为________．解析： (a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2，且|a|＝|b|＝2.∴a·b＝2.∴cos〈a，b〉＝＝，而〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝.答案：3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×2cos60°＋22＝3.∴|a－b|＝.答案：4．已知a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c垂直，则k＝________.解析：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又a－2b与c垂直，∴k＋3＝0，∴k＝－3.答案：－35．(2011·高考广东卷改编)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝OM·OA的最大值为________．解析：由线性约束条件画出可行域如图阴影部分，目标函数z＝OM·OA＝x＋y，由图可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大值为4.答案：46．(2011·高考上海卷)在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.解析：如图，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD＝，cos∠BAD＝＝，∴AB·AD＝3××＝.答案：7．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件．解析：f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b为一次函数⇒a⊥b且|a|≠|b|.答案：必要而不充分8．(2012·常州质检)在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________．①AB－AC＝BC；②AB＋BC＋CA＝0；③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AB·BC>0，则△ABC为锐角三角形．解析：在△ABC中，AB－AC＝CB，①错误；若AB·BC>0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．答案：②③二、解答题9．(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB·BC，|CD|；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.解：(1)AB·BC＝|AB||BC|cos〈AB，BC〉＝5×5cos120°＝－.∴CD＝(CA＋CB)，∴|CD|2＝(CA＋CB)2＝(CA2＋CB2＋2CA·CB)＝(25＋25＋2×5×5cos60°)＝，∴|CD|＝.(2) a＝(3，－4)，b＝(2,1)，∴a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)，2a＋3b＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝－12＋30＝18.又 a＋2b＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2)，∴|a＋2b|＝＝.10．已知两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.(1)若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的方向相反，求实数t的值；(2)若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：(1)由题意设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴消去λ，解得2t2＝7.若t＝－，则λ＝－；若t＝，则λ＝＞0，则t＝不合题意，舍去．∴当t＝－时，2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为π，即这两个向量方向相反．(2)因为e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.因为这两个向量夹角为钝角，设夹角为θ，则有cosθ＝∈，所以有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，且2te1＋7e2与向量e1＋te2不反向．当2t2＋15t＋7＜0时，解得－7＜t＜－.又由(1)知t＝－时，这两个向量的夹角为π.∴t的取值范围是∪.[B级能力提升]一、填空题1．(2011·高考大纲全国卷改编)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，a－c和b－c的夹角为60°，则|c|的最大值为________．解析：如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－c. |a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1，又 a·b＝－，∴|a||b|cos∠AOB＝－，∴cos∠AOB＝－，∴∠AOB＝120°，又 a－c和b－c的夹角为60°，而120°＋60°＝180°，∴O、A、C、B四点共圆，∴当OC为圆的直径时|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°.∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2.答案：22．(2011·高考天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA...
