3个附加题专项强化练(二)随机变量、空间向量、抛物线(理科)1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)设AD＝λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值．解：(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB＝90°，故直线CA，CB，CC1两两垂直．以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3，0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，设D(x，y，z)，则由AD＝λAB，得CD＝(3－3λ，4λ，0)，而AC1＝(－3,0,4)，根据题意知＝，解得λ＝或λ＝－.(2)由(1)知CD＝，CB1＝(0,4,4)，设平面CDB1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝4，则y1＝－3，z1＝3，故n1＝(4，－3,3)为平面CDB1的一个法向量，而平面CBB1的一个法向量为n2＝(1,0,0)，并且〈n1，n2〉与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝.故二面角DCB1B的余弦值为.2．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．(1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解：(1)设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为＝，乙，丙不选做D题的概率都是＝.则P(E)＝××＝.故甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝×2＋×C××＝，P(X＝2)＝×C××＋×C×2＝，P(X＝3)＝×C×2＝.所以X的概率分布为X0123P故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3.如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈BE，DE〉＝－.(1)求的值；(2)求二面角BVCD的余弦值．解：(1)由题意，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0，0，h)，E，∴BE＝，DE＝.故cos〈BE，DE〉＝，又cos〈BE，DE〉＝－，∴＝－，解得＝.(2)由＝，得BE＝，DE＝.且CB＝(2a,0,0)，DC＝(0,2a,0)．设平面BVC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝3，得n1＝(0,3,2)，设平面VCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝－3，得n2＝(－3,0,2)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.由图象知二面角BVCD的平面角为钝角．∴二面角BVCD的余弦值为－.4．在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OC＝tOM＋(1－t)ON(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC＝tOM＋(1－t)ON(t∈R)，可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－4.联立化简得x2－12x＋16＝0,设C的轨迹方程与抛物线y2＝4x的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝16，y1y2＝(x1－4)(x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16，因为OA·OB＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0,所以OA⊥OB.(2)假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，其方程为x＝ny＋m，代入y2＝4x得y2－4ny－4m＝0,此时y1＋y2＝4n，y1y2＝－4m，所以kOAkOB＝·＝·＝＝－＝－1，所以m＝4(定值)，故存在这样的点P(4,0)满足题意．设AB的中点为T(x，y)，则y＝(y1＋y2)＝2n，x＝(x1＋x2)＝(ny1＋4＋ny2＋4)＝(y1＋y2)＋4＝2n2＋4，消去n得y2＝2x－8.5．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．解：(1)由题意得＋3x＝1，解得x＝，由＋＋y＝1，解得y＝.记甲、乙两人所付车费相同的事件为A，...
