6个解答题专项强化练(三)解析几何1．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0.(1)若a＝－8，过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线方程；(2)若AB为圆M的任意一条直径，且OA·OB＝－6(其中O为坐标原点)，求圆M的半径．解：(1)若a＝－8，则圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9，圆心M(1，0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M到直线x＝4的距离为3，所以直线x＝4为圆M的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y－4k＋5＝0，则圆心到直线的距离为＝3，解得k＝，即切线方程为8x－15y＋43＝0.所以切线方程为x＝4或8x－15y＋43＝0.(2)圆M的方程可化为(x－1)2＋y2＝1－a，圆心M(1，0)，则OM＝1，半径r＝(a<1)．因为AB为圆M的任意一条直径，所以MA＝－MB，且|MA|＝|MB|＝r，则OA·OB＝(OM＋MA)·(OM＋MB)＝(OM－MB)·(OM＋MB)＝OM2－MB2＝1－r2，又因为OA·OB＝－6，解得r＝，所以圆M的半径为.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，且经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA＝DB，求的值．解：(1)法一：由题意，得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意，知2a＝＋＝4，所以a＝2.又c＝1，a2＝b2＋c2，所以b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)法一：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)．①当k＝0时，AB＝2a＝4，FD＝FO＝1，所以＝4；②当k≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，把直线AB的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以x0＝－，所以y0＝k(x0＋1)＝，所以AB的垂直平分线方程为y－＝－.因为DA＝DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D，所以DF＝－＋1＝.又因为AB＝|x1－x2|＝·＝，所以＝4.综上，得的值为4.法二：①若直线AB与x轴重合，则＝4；②若直线AB不与x轴重合，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由两式相减得＋＝0，所以＋＝0，所以直线AB的斜率为＝－，所以直线AB的垂直平分线方程为y－y0＝(x－x0)．因为DA＝DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D，所以DF＝＋1.因为椭圆的左准线的方程为x＝－4，离心率为，由＝，得AF＝(x1＋4)，同理BF＝(x2＋4)．所以AB＝AF＋BF＝(x1＋x2)＋4＝x0＋4，所以＝4.综上，得的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且OM·AB＝－b2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．解：(1)由题意，A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M.所以OM＝，AB＝(－a，b)．因为OM·AB＝－b2，所以·(－a，b)＝－＋＝－b2，整理得a2＝4b2，即a＝2b.因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即a＝2c.所以椭圆的离心率e＝＝.(2)证明：法一：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－x＋m，D(x1，y1)，C(x2，y2)．联立方程消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2.直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝＝，所以k1k2＝·＝＝＝＝＝，即k1k2为定值.法二：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.设C(x0，y0)，则＋y＝1.因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0.联立方程消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，解得x＝x0或x＝2y0.所以点D的坐标为.所以k1k2＝·＝，即k1k2为定值.4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA＝λAF，PB＝μBF.求证：λ＋μ为定值；②若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．解：(1)由题设知c＝1，－＝－2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)①证明：由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则P(0，k)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入椭圆的方程得x2＋2k2(x＋1)2＝2，整理得(1＋2k2)x2＋4...
