6个解答题综合仿真练(四)1.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，E是PA的中点，F是PC的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求证：AF⊥平面BDE.证明：(1)连结OE，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点．又因为E为PA的中点，所以OE∥PC.又因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)因为PA＝AC，△PAC是等腰三角形，又F是PC的中点，所以AF⊥PC.又OE∥PC，所以AF⊥OE.又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC⊥BD.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，因为AF⊂平面PAC，所以AF⊥BD.因为OE∩BD＝O，所以AF⊥平面BDE.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2＋ac＝b2，sinA＝.(1)求sinC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由a2＋c2＋ac＝b2，得cosB＝＝－，又B∈(0，π)，所以B＝.因为sinA＝，且B为钝角，所以cosA＝，所以sinC＝sin＝×＋×＝.(2)由正弦定理得＝，所以c＝＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝2.3．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，一个焦点为F(－1,0)，点F到相应准线的距离为3.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．解：(1)由焦点F(－1,0)知c＝1，又－c＝3，所以a2＝4，从而b2＝a2－c2＝3.所以椭圆M的方程为＋＝1.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，此时S1＝S2，|S1－S2|＝0；若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝.此时|S1－S2|＝·AB·||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k||(x1＋x2)＋2|＝2|k|＝2|k|＝.因为k≠0，所以|S1－S2|＝≤＝＝，当且仅当＝4|k|，即k＝±时取等号．所以|S1－S2|的最大值为.4.如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD＝6米，AE＝6米，AP＝2米，∠MPN＝.记∠EPM＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．(1)求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；(2)求S的最小值．解：(1)法一：在△PME中，∠EPM＝θ，PE＝AE－AP＝4米，∠PEM＝，∠PME＝－θ，由正弦定理得＝，所以PM＝＝＝，在△PNE中，由正弦定理得＝，所以PN＝＝＝，所以△PMN的面积S＝PM·PN·sin∠MPN＝＝＝＝，当M与E重合时，θ＝0；当N与D重合时，tan∠APD＝3，即∠APD＝，θ＝－，所以0≤θ≤－.综上可得，S＝，θ∈.法二：在△PME中，∠EPM＝θ，PE＝AE－AP＝4米，∠PEM＝，∠PME＝－θ，由正弦定理得＝，所以ME＝＝＝，在△PNE中，由正弦定理得＝，所以NE＝＝＝，所以MN＝NE－ME＝，又点P到DE的距离为d＝4sin＝2，所以△PMN的面积S＝MN·d＝＝＝＝，当M与E重合时，θ＝0；当N与D重合时，tan∠APD＝3，即∠APD＝，θ＝－，所以0≤θ≤－.综上可得，S＝，θ∈.(2)当2θ＋＝，即θ＝∈时，S取得最小值为＝8(－1).所以可视区域△PMN面积的最小值为8(－1)平方米．5．设a>0且a≠1，函数f(x)＝ax＋x2－xlna－a.(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最小值；(3)指出函数f(x)的零点个数，并说明理由．解：(1)当a＝e时，f(x)＝ex＋x2－x－e，f′(x)＝ex＋2x－1.设g(x)＝ex＋2x－1，则g(0)＝0，且g′(x)＝ex＋2>0.所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，当x>0时，g(x)>g(0)＝0；当x<0时，g(x)
0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0.综上，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(2)f′(x)＝axlna＋2x－lna＝(ax－1)lna＋2x，①当a>1时，若x>0，则ax>1，lna>0，所以f′(x)>0，若x<0，则ax<1，lna>0，所以f′(x)<0.②当00，则ax<1，lna<0，所以f′(x)>0，若x<0，则ax>1，lna<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调...
