14个填空题专项强化练(七)平面向量与复数A组——题型分类练题型一平面向量的线性运算1.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则的值为________.解析:由OA+2OC=3OB,得OA-OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以=.答案:2.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=________(用a,b表示).解析:由AN=3NC得AN=AC=(a+b),AM=a+b,所以MN=AN-AM=(a+b)-=-a+b.答案:-a+b3.已知Rt△ABC的面积为2,∠C=90°,点P是Rt△ABC所在平面内的一点,满足CP=+,则PA·PB的最大值是________.解析:由条件可知|CA|·|CB|=4,CA·CB=0,因为PA=CA-CP=CA--,PB=CB-CP=CB--,故PA·PB=·=97-9|CA|-4|CB|≤97-12×2=73,当且仅当9|CA|=4|CB|,即|CA|=,|CB|=3时等号成立.答案:73题型二平面向量的坐标表示1.在▱ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为________.解析:因为BC=AC-AB=(-1,-1),所以BD=AD-AB=BC-AB=(-3,-5).答案:(-3,-5)2.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x的值是________.解析:因为u=(1+2x,4),v=(2-x,3),u∥v,所以8-4x=3+6x,所以x=.答案:3.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=____________.解析:不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥b,有-3(1+m)=2(2+n).①对于c⊥(a+b),有3m-n=0.②联立①②,解得m=-,n=-.故c=.答案:题型三平面向量的数量积1.已知向量a=(3,-2),b=(1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为________.解析:依题意,λa+b=(3λ+1,-2λ),a-2b=(1,-2),所以(λa+b)·(a-2b)=7λ+1=0,λ=-.答案:-2.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则a与2a-b夹角的余弦值为__________.解析:法一:不妨设|a|=|b|=|a+b|=1,则|a+b|2=a2+b2+2a·b=2+2a·b=1,所以a·b=-,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=,又因为|a|=1,|2a-b|===,所以a与2a-b夹角的余弦值为==.法二:(特殊化、坐标化)设|a|=|b|=|a+b|=1,则向量a,b,a+b构成以1为边长的正三角形,故可设a=(1,0),b=,a+b=,则a与2a-b的夹角的余弦值为===.答案:3.已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为________.解析:由题意得,AB·AC=-3,由AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=0,得λAB·AC-λAB2+AC2-AC·AB=0,即-3λ-4λ+9+3=0,故λ=.答案:4.如图,已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q.若|AB|=3,|AC|=5,则(AP+AQ)·(AB-AC)的值为________.解析:由题意知,(AP+AQ)·(AB-AC)=(2AQ+QP)·CB=2AQ·CB=(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=32-52=-16.答案:-165.在△ABC中,已知AB=,C=60°,则CA·CB的最大值为________.解析:因为AB=CB-CA,所以AB2=CB2+CA2-2CB·CA,所以3=|CB|2+|CA|2-|CB|·|CA|≥2|CB|·|CA|-|CB|·|CA|=|CB|·|CA|,即|CB|·|CA|≤3,当且仅当|CA|=|CB|=时等号成立.所以CA·CB=|CA||CB|cos60°=|CA||CB|≤,所以CA·CB的最大值为.答案:6.在△ABC中,AB⊥AC,AB=,AC=t,P是△ABC所在平面内一点,若AP=+,则△PBC面积的最小值为________.解析:由于AB⊥AC,故以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B,C(0,t),因为AP=+,所以点P坐标为(4,1),直线BC的方程为t2x+y-t=0,所以点P到直线BC的距离为d=,BC=,所以△PBC的面积为××=≥,当且仅当t=时取等号.答案:题型四复数1.设复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位).若z=(4+3i)i,则ab的值是________.解析:因为z=a+bi且z=(4+3i)i,所以a+bi=4i+3i2=-3+4i,所以a=-3,b=4,所以ab=-12.答案:-122.已知复数z满足z=(1-2i)(3+i),其中i为虚数单位,则|z|=________.解析:复数z=(1-2i)(3+i),i为虚数单位,则|z|=|1-2i||3+i|=×=5.答案...