14个填空题专项强化练(七)平面向量与复数A组——题型分类练题型一平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA＋2OC＝3OB，则的值为________．解析：由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝2CB，所以＝.答案：2．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析：由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b3．已知Rt△ABC的面积为2，∠C＝90°，点P是Rt△ABC所在平面内的一点，满足CP＝＋，则PA·PB的最大值是________．解析：由条件可知|CA|·|CB|＝4，CA·CB＝0，因为PA＝CA－CP＝CA－－，PB＝CB－CP＝CB－－，故PA·PB＝·＝97－9|CA|－4|CB|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA|＝4|CB|，即|CA|＝，|CB|＝3时等号成立．答案：73题型二平面向量的坐标表示1．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为________．解析：因为BC＝AC－AB＝(－1，－1)，所以BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，所以8－4x＝3＋6x，所以x＝.答案：3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________.解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．①对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.②联立①②，解得m＝－，n＝－.故c＝.答案：题型三平面向量的数量积1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－.答案：－2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为__________．解析：法一：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又因为|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝.法二：(特殊化、坐标化)设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则向量a，b，a＋b构成以1为边长的正三角形，故可设a＝(1,0)，b＝，a＋b＝，则a与2a－b的夹角的余弦值为＝＝＝.答案：3．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB·AC＝－3，由AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，得λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝.答案：4.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若|AB|＝3，|AC|＝5，则(AP＋AQ)·(AB－AC)的值为________．解析：由题意知，(AP＋AQ)·(AB－AC)＝(2AQ＋QP)·CB＝2AQ·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝32－52＝－16.答案：－165．在△ABC中，已知AB＝，C＝60°，则CA·CB的最大值为________．解析：因为AB＝CB－CA，所以AB2＝CB2＋CA2－2CB·CA，所以3＝|CB|2＋|CA|2－|CB|·|CA|≥2|CB|·|CA|－|CB|·|CA|＝|CB|·|CA|，即|CB|·|CA|≤3，当且仅当|CA|＝|CB|＝时等号成立．所以CA·CB＝|CA||CB|cos60°＝|CA||CB|≤，所以CA·CB的最大值为.答案：6．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若AP＝＋，则△PBC面积的最小值为________．解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B，C(0，t)，因为AP＝＋，所以点P坐标为(4,1)，直线BC的方程为t2x＋y－t＝0，所以点P到直线BC的距离为d＝，BC＝，所以△PBC的面积为××＝≥，当且仅当t＝时取等号．答案：题型四复数1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)．若z＝(4＋3i)i，则ab的值是________．解析：因为z＝a＋bi且z＝(4＋3i)i，所以a＋bi＝4i＋3i2＝－3＋4i，所以a＝－3，b＝4，所以ab＝－12.答案：－122．已知复数z满足z＝(1－2i)(3＋i)，其中i为虚数单位，则|z|＝________.解析：复数z＝(1－2i)(3＋i)，i为虚数单位，则|z|＝|1－2i||3＋i|＝×＝5.答案...
