实验一ARIMA模型建立与应用一、实验项目：ARIMA模型建立与预测。二、实验目的1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理；2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法；3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法；4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测；三、预备知识（一）模型1、AR（p）(p阶自回归模型）xt=δ+φ1xt−1+φ2xt−2+⋯+φpxt−p+ut其中ut白噪声序列，δ是常数（表示序列数据没有0均值化）AR（p）等价于(1−φ1L−φ2L2−⋯−φpLp)xt=δ+utAR（p）的特征方程是：Φ(L)=1−φ1L−φ2L2−⋯−φpLp=0AR（p）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。2、MA（q）（q阶移动平均模型）xt=μ+ut+θ1ut−1+θ2ut−2+⋯+θqut−qxt−μ=(1+θ1L+θ2L2+⋯+θqLq)ut=Θ(L)ut其中{ut}是白噪声过程。MA（q）平稳性MA（q）是由ut本身和q个ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。MA（q）可逆性（用自回归序列表示ut）ut=[Θ(L)]−1xt可逆条件：即[Θ(L)]−1收敛的条件。即Θ（L）每个特征根绝对值大于1，即全部特征根在单位圆之外。3、ARMA（p，q）（自回归移动平均过程）xt=φ1xt−1+φ2xt−2+⋯+φpxt−p+δ+ut+θ1ut−1+θ2ut−2+⋯+θqut−qΦ(L)xt=(1−φ1L−φ2L2−⋯−φpLp)xt¿δ+(1+θ1L+θ2L2+⋯+θqLq)ut=δ+Θ(L)utΦ(L)xt=δ+Θ(L)utARMA（p，q）平稳性的条件是方程Φ（L）=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程Θ（L）=0的根全部在单位圆外。14、ARIMA（p，d，q）（单整自回归移动平均模型）差分算子：Δxt=xt−xt−1=xt−Lxt=(1−L)xtΔ2xt=Δxt−Δxt−1=(1−L)xt−(1−L)xt−1=(1−L)2xtΔdxt=(1−L)dxt对d阶单整序列xt~I(d)wt=Δdxt=(1−L)dxt则wt是平稳序列，于是可对wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型称为xt~ARIMA（p，d，q），模型形式是wt=φ1wt−1+φ2wt−2+⋯+φpwt−p+δ+ut+θ1ut−1+θ2ut−2+⋯+θqut−qΦ(L)Δdxt=δ+Θ(L)ut由此可转化为ARMA模型。（二）模型识别要建立模型ARIMA（p，d，q），首先要确定p，d，q，步骤是：一是用单位根检验法，确定xt~I（d）的d；二是确定xt~AR（p）中的p；三是确定xt~MA（q）中的q。平稳序列自相关函数ρk=cov(xt,xt+k)√var(xt)√var(xt+k)=cov(x0,xk)√var(x0)√var(x0)=rkr0ρ0=1，ρ-k=ρk（对称）1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数（1）平稳AR(p)的自相关系数xt=φ1xt−1+φ2xt−2+⋯+φpxt−p+ut｜φi｜<1，i=1,2,…,p，E(ut)=0xt−kxt=φ1xt−kxt−1+φ2xt−kxt−2+⋯+φpxt−kxt−p+xt−kut，k>0γk=φ1λk−1+φ2λk−2+⋯+φpλk−p，k>0平稳AR(p)的自相关系数是ρk=φ1ρk−1+φ2ρk−2+⋯+φpρk−p，k>0（2）k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数xt=φk1xt−1+φk2xt−2+⋯+φkkxt−k+utxtxt−j=φk1xt−1xt−j+φk2xt−2xt−j+⋯+φkkxt−kxt−j+utxt−jγj=φk1γj−1+φk2γj−2+⋯+φkkγj−k两边同除以γ02ρj=φk1ρj−1+φk2ρj−2+⋯+φkkρj−k对任意j>0都成立。根据ρ0=1和对称性ρj=ρ−j，得到Yule-Walker方程组ρ1=φk1+φk2ρ1+⋯+φkkρk−1ρ2=φk1ρ1+φk2+⋯+φkkρk−2⋯ρk=φk1ρk−1+φk2ρk−2+⋯+φkk对于给定的k，ρ1,ρ2,…,ρk已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：φ11，φ22的,…,φkk。ρ3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt与xt-3的相关系数，至于中间xt-1，xt-2起什么作用无法顾及。φ33的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度量xt与xt-3的相关程度。2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数（1）MA(q)自相关系数xt=μ+ut+θ1ut−1+θ2ut−2+⋯+θqut−qγk=E(xtxt−k)={σ2(1+θ12+θ22+⋯+θq2),k=0σ2(θk+θ1θk+1+⋯+θk−qθq),0qρk=rkr0={1,k=0(θk+θ1θk+1+⋯+θk−qθq)/(1+θ12+θ22+⋯+θq2),0q当k>q时，ρk=0，xt与xt+k不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。（2）MA(q)偏自相关系数MA(q)模型对应一个AR（∞），通过AR（∞）来解决3、ARMA（p，q）有拖尾特征，p和q的识别通...
