14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中的元素的个数为________．解析：集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.答案：52．复数z＝(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．解析：z＝＝＝1＋i，则复数z的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．解析：阅读流程图，当k＝2,3,4,5时，k2－7k＋10≤0，一直进行循环，当k＝6时，k2－7k＋10＞0，此时终止循环，输出k＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P＝1－＝.答案：5．双曲线－＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x＝－，所以右焦点与左准线之间的距离是3－＝.答案：6．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．解析：由题意，得＝，所以n＝30.答案：307．若实数x，y满足则z＝2x＋3y的最大值为________．解析：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x＋3y为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点A时，直线在y轴上的截距最大，联立解得A(1，2)，故zmax＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为________．解析：取点O为底面ABCD的中心，则SO⊥平面ABCD，取BC的中点E，连结OE，SE，则OE＝BE＝1，在Rt△SBE中，SE＝＝，在Rt△SOE中，SO＝＝1，从而该正四棱锥的体积V＝S四边形ABCD·SO＝×2×2×1＝.答案：9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A在原点时，PQ最小，此时，sin∠PAC＝，cos∠PAC＝，cos∠PAQ＝，故cos∠PCQ＝－，∴PQ＝＝＝，当A点离原点无限远时，PQ接近于2，∴PQ的取值范围为.法二：设CA＝x，x∈[3，＋∞)，则PA＝，sin∠ACP＝＝＝，所以PQ＝2CP·sin∠ACP＝2·.因为x∈[3，＋∞)，所以y＝在[3，＋∞)上为增函数，所以≤PQ<2.答案：10．若函数f(x)＝在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为________．解析：易知函数f(x)在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax－lnx＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a＝在(0，＋∞)上恰有一解.令g(x)＝，由g′(x)＝＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，g(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，g(x)单调递减，所以g(x)在x＝e处取得极大值也为最大值，作出y＝g(x)与y＝a的图象(图略)，知当正实数a＝g(x)max时两函数有一个交点，所以a＝g(e)＝.答案：11．设直线l是曲线y＝4x3＋3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为________．解析：y′＝12x2＋(x>0)，令g(x)＝12x2＋，则g′(x)＝24x－，令g′(x)＝0，得x＝，故当x∈时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，所以当x＝时，g(x)取得最小值g＝9，故y′＝12x2＋的最小值为9，即直线l的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB中，弦AB＝1，C为劣弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP·BP的最小值是________．解析：设弦AB的中点为M，则OP·BP＝(OM＋MP)·BP＝MP·BP，若MP，BP同向，则OP·BP>0；若MP，BP反向，则OP·BP<0，故OP·BP的最小值在MP，BP反向时取得，此时|MP|＋|BP|＝，OP·BP＝－|MP|·|BP|≥－2＝－，当且仅当|MP|＝|BP|＝时取等号，即OP·BP的最小值是－.答案：－13．在平面直角坐标系xOy中，已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线y＝x＋上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程cosx－sinx＋＝0的两根．设f(x)＝cosx－sinx＋，则f′(x)＝－sinx－cosx.令f′(x)＝0，得tanx0＝－，所以α＋β＝2x0，所以tan(α＋β)＝－.答案...
