专项限时集训(二)立体几何中的探索性与存在性问题(对应学生用书第115页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图3，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．图3(1)求证：B1C1∥平面A1DE；(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.[证明](1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，2分又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.4分又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.6分(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.8分又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，10分又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.12分又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.14分2．(本小题满分14分)如图4所示，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.图4(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解](1)因为AB∥DC，AD⊥DC，所以AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，所以BD＝，易求BC＝，4分因为CD＝2，所以BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，所以BD⊥平面B1BCC1.6分(2)DC的中点为E点．如图所示，连接BE，因为DE∥AB，DE＝AB，所以四边形ABED是平行四边形.8分所以AD∥BE.又AD∥A1D1，所以BE∥A1D1，10分所以四边形A1D1EB是平行四边形，所以D1E∥A1B.12分因为D1E⊄平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.14分3．(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图5,在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：图5(1)直线A1E∥平面ADC1；(2)直线EF⊥平面ADC1.【导学号：56394093】[证明](1)连接ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四边形B1BDE是平行四边形，2分所以BB1∥DE且BB1＝DE，又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，4分所以A1E∥AD，又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.7分(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC，9分又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，所以AD⊥EF，11分又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD＝D，所以直线EF⊥平面ADC1.14分4．(本小题满分14分)(镇江市2017届高三上学期期末)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝AA1.图6(1)求证：AC1∥平面BDE；(2)求证：A1E⊥平面BDE.[证明](1)连接AC交BD于点O，连接OE.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，点O为AC的中点，2分AA1∥CC1且AA1＝CC1，由EC＝AA1，则EC＝CC1，即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE.4分又因为OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE.所以AC1∥平面BDE.6分(2)连接OA1，根据垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE＝O，∴平面A1OE⊥DB.可得A1E⊥DB.8分 E为CC1的中点，设AB＝BC＝EC＝AA1＝a，∴BE＝a，A1E＝a，A1B＝a， A1B2＝A1E2＋BE2，∴A1E⊥EB.12分 EB⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，EB∩BD＝B，∴A1E⊥平面BDE.14分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图7，在四棱锥E－ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．图7求证：(1)直线MN∥平面EBC；(2)直线EA⊥平面EBC.[证明](1)取BE中点F，连接CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，4分所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.8分(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，12分又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.16分6．(本小题满分16分)(无锡市2017届高三上学期期末)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：图8(1)平面PAD⊥...
