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高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训4 解析几何中的范围、定值和探索性问题-人教版高三数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训4 解析几何中的范围、定值和探索性问题-人教版高三数学试题_第1页
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专项限时集训(四)解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第119页)(限时:60分钟)1.(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4,点A(1,)为椭圆+=1上一定点,过点A引两直线与椭圆分别交于B,C两点.图4(1)求椭圆方程;(2)若直线AB,AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形,求△ABC面积的最大值,并求出此时直线BC的方程.[解](1)把点A(1,)代入+=1得n=6,故椭圆方程为+=1.4分(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直,因此其斜率必存在,设AB,AC的斜率分别为k1、k2,由得点B的横坐标为x=1-,∴点B的纵坐标为y=-,即B.同理可得点C的坐标为C,∵k1+k2=0,∴直线BC的斜率为kBC=.设直线BC的方程为y=x+m,代入方程+=1得6x2+2mx+m2-6=0,xB+xC=-m,xBxC=,|BC|=|xB-xC|=2,10分∴|BC|=,又点A到直线BC的距离为d=,∴S=|BC|·d==,∴当m2=6,即m=±时,△ABC面积取得最大值为.此时,直线BC的方程为y=x±.14分2.(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图5,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).图5(1)若QF=2FP,求直线l的方程;(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【导学号:56394100】[解](1)因为a2=4,b2=3,所以c==1,所以F的坐标为(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程+=1,得(4+3m2)y2+6my-9=0,则y1=,y2=.若QF=2FP,即QF=2FP,则+2·=0,解得m=,故直线l的方程为x-2y-=0.6分(2)由(1)知,y1+y2=-,y1y2=-,所以my1y2=-=(y1+y2),由A(-2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,所以=·===,故存在常数λ=,使得k1=k2.14分3.(本小题满分16分)如图6,在平面直角坐标系xOy中,已知R(x0,y0)是椭圆C:+=1上的一点,从原点O向圆R:(x-x0)2+(y-y0)2=8作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.图6(1)若R点在第一象限,且直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程;(2)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1,k2,求k1k2的值.【导学号:56394101】[解](1)连接OR(图略).设圆R的半径为r,由圆R的方程知r=2,因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆R相切,所以|OR|=r=4,即x+y=16.①又点R在椭圆C上,所以+=1,②联立①②,解得所以圆R的方程为(x-2)2+(y-2)2=8.6分(2)因为直线OP:y=k1x和OQ:y=k2x都与圆R相切,所以=2,=2,化简得(x-8)k-2x0y0k1+y-8=0,(x-8)k-2x0y0k2+y-8=0.所以k1,k2是方程(x-8)k2-2x0y0k+y-8=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系,得k1k2=,因为点R(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1,即y=12-x,所以k1k2==-.16分4.(本小题满分16分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.【解】(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为+y2=1.4分(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则x+4y=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=.10分所以|AN|·|BM|=·===4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.16分

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