专项限时集训(六)数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题(对应学生用书第123页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：＋＋…＋≤2－.[解](1)设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，且∴∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.4分(2)证明：当n＝1时，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1.6分当n≥2时，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)·2n－1. an＝2n－1，∴当n≥2时，bn＝2n－1.8分 b1＝1＝2×1－1满足bn＝2n－1，∴数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．∴Sn＝n2.10分∴当n＝1时，＝1＝2－.当n≥2时，＝<＝－.∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－＝2－.14分2．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如果无穷数列{an}满足下列条件：①≤an＋1；②存在实数M，使an≤M.其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．(1)设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；(2)设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝，证明：数列{Sn}是Ω数列；(3)设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.【导学号：56394106】[解](1) bn＋1－bn＝5－2n，∴当n≥3，bn＋1－bn＜0，故数列{bn}单调递减；当n＝1,2时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3，则数列{bn}中的最大项是b3＝7，所以M≥7.2分(2)证明： {cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝，设其公比为q＞0，∴＋＋c3＝.整理，得6q2－q－1＝0，解得q＝，q＝－(舍去)．∴c1＝1，cn＝，Sn＝2－＝Sn＋2，S＜2.对任意的n∈N*，有＝2－－＜2－＝Sn＋1，且Sn＜2，故{Sn}是Ω数列.8分(3)证明：假设存在正整数k使得dk＞dk＋1成立，由数列{dn}的各项均为正整数，可得dk≥dk＋1＋1，即dk＋1≤dk－1.因为≤dk＋1，所以dk＋2≤2dk＋1－dk≤2(dk－1)－dk＝dk－2.由dk＋2≤2dk＋1－dk及dk＞dk＋1得dk＋2＜2dk＋1－dk＋1＝dk＋1，故dk＋2≤dk＋1－1.因为≤dk＋2，所以dk＋3≤2dk＋2－dk＋1≤2(dk＋1－1)－dk＋1＝dk＋1－2≤dk－3，由此类推，可得dk＋m≤dk－m(m∈N*)．又存在M，使dk≤M，∴m＞M，使dk＋m＜0，这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意n∈N*，都有dn≤dn＋1成立.14分3．(本小题满分14分)设数列{an}满足≤1，n∈N*.(1)证明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；(2)若|an|≤n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.[证明](1)由≤1，得|an|－|an＋1|≤1，故－≤，n∈N*，所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋<1，因此|an|≥2n－1(|a1|－2).4分(2)任取n∈N*，由(1)知，对于任意m>n，－＝＋＋…＋≤＋＋…＋<，故|an|<·2n≤·2n＝2＋m·2n.10分从而对于任意m>n，均有|an|<2＋m·2n.①由m的任意性得|an|≤2.否则，存在n0∈N*，有|an0|>2，取正整数m0>log且m0>n0，则2n0·m0<2n0·log＝|an0|－2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.14分4．(本小题满分16分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知n为正整数，数列{an}满足an＞0,4(n＋1)a－na＝0，设数列{bn}满足bn＝.(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值；(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8aSn－an2＝16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．[解](1)证明：数列{an}满足an＞0,4(n＋1)a－na＝0，∴2an＝an＋1，即＝2·，∴数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列.4分(2)由(1)可得：＝a1×2n－1，∴a＝na·4n－1. bn＝，∴b1＝，b2＝，b3＝， 数列{bn}是等差数列，∴2×＝＋，∴＝a＋，化为：16t＝t2＋48，解得t＝12或4.8分(3)数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t＝12或4.①t＝12时，bn＝＝，Sn＝， 对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8aSn－an2＝16bm成立，∴8a×－an2＝16×，∴a＝，n＝1时，化为：－a＝＞0，无解，舍去．②t＝4时，bn＝＝，Sn＝，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8aSn－an2＝16bm成立，∴8a×－an2＝16×，∴na＝4m...
