高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第5讲 导数的简单应用教师用书 理-人教版高三数学试题VIP免费

第5讲导数的简单应用题型一|导数的几何意义(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．(2)经过原点(0,0)作函数f(x)＝x3＋3x2图象的切线，则切线方程为________．(1)－3(2)y＝0或9x＋4y＝0[(1)由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)，易得a＝0，对函数求导可得：f′(x)＝3x2＋b，可设切点(x0，y0)，则有可解得即b的值为－3.(2)f′(x)＝3x2＋6x.当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0.当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(3x＋6x0)(x－x0)，又点(0,0)在切线上，所以－x－3x＝－3x－6x，解得x0＝0(舍去)或x0＝－，故切线方程为9x＋4y＝0.]【名师点评】解决函数切线的相关问题，需抓住三个关键点：(1)切点是曲线与切线的公共点；(2)在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)；(3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．“过点P的切线”中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在“点P处的切线”，点P是切点．1．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则＝________.－[设曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率为k，则k＝y′|x＝1＝3.因为直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，所以＝－.]2．在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是________．[由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x，函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3xx－2x.所以解得x1＝，x2＝.所以＝.]3．曲线f(x)＝·ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________．y＝ex－[令x＝0，f(0)＝e0－f(0)×0＋0，所以f(0)＝，从而f(x)＝ex－x＋x2，f′(x)＝ex－＋x.令x＝1时，f′(1)＝·e－＋1，f′(1)＝e，f(x)＝ex－x＋.f(1)＝e－，则切线为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.]题型二|利用导数研究函数的单调性(1)若函数f(x)＝在x∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．(2)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．(1)a<(2)(0,1][(1)对函数求导得：f′(x)＝＝＝，令f′(x)<0，即2a－1<0，解得a<.(2)y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′≤0，得00或f′(x)<0即可．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．1．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是___．[1，＋∞)[依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立． x>1，∴0<<1，∴k≥1.]2．已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则f________f.(填“>”“<”或“＝”)【导学号：19592014】<[依题意，记g(x)＝，则当x∈时，g′(x)＝>0，函数g(x)是增函数．又－<－<－<，因此g