专题3数列第11讲等差数列与等比数列题型一|数列的概念及其表示(1)(2016·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则an＝________.(2)已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn.若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________.[解题指导](1)bn＋1－bn＝1――――――→求bn―――――→求an(2)Sn＋1＝2Sn＋1――→求Sn―――――→求an(1)(2)[(1) a3＝1，a4＝－1，∴b3＝a4－a3＝－2.又bn＋1－bn＝1，∴{bn}是等差数列，∴bn＝b3＋(n－3)×1＝－2＋(n－3)×1＝n－5.∴an＋1－an＝n－5.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3＝(n－6)＋(n－7)＋…＋(－2)＋1＝＋1＝.(2)依题意得Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因此数列{Sn＋1}是以S1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，Sn＋1＝3×2n－1，Sn＝3×2n－1－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·2n－2，又a1＝2，因此an＝]【名师点评】1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝2．在形如“an＋1＝pan＋q”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(an＋1＋x)＝p(an＋x)，再由等量关系求得x，实现构造．3．在形如“＝f(n)”的数列中，通常用累积法求an，即an＝··…··a1.4．在形如“an＋1－an＝f(n)”的数列中，通常用累加法求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________.2n－1[由Sn＝2an－n①，得Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)②，①－②，得an＝2an－2an－1－1(n≥2)，即an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，∴＝2，又a1＝1，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]2．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．则an＝________.[由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝]题型二|等差、等比数列的基本运算(1)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．(2)如图11－1，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.图11－1(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2的值为________．(1)4(2)(3)129[(1)因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.(2)根据题意易知a1＝2，a2＝，a3＝1，所以{an}构成以a1＝2为首项，以q＝为公比的等比数列，所以a7＝a1q6＝2×6＝.(3)设公比为q，由2a3＝a4＋a5，即2a3＝a3q＋a3q2，解得q＝－2或q＝1(舍去，因为Sk与Sk＋1异号)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－96，ak＋2＝ak＋1q＝192，Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝－63＋192＝129.]【名师点评】等差(比)数列基本运算中的关注点1．基本量．在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量．2．解题思路．(1)求公差d(公比q)：常用公式an＝am＋(n－m)d(an＝amqn－m)；(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量．1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________.3[由a2＋a6＝a8，得a1＋d＋a1＋5d＝a1＋7d，即a1＝d，＝＝＝＝3.]2．(2016·苏州期中)等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.4[由得2q2－5q＋2＝0，即q＝2.代入a5－a1＝15得a1＝1.∴a3＝a1q2＝1×22＝4.]3．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．[由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1；a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.]4．已知数列{an}满足a1＝，2－a...
