专题限时集训(二十三)排列、组合与二项式定理(建议用时：45分钟)1．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数有多少个．【导学号：19592064】[解]若a2＝2，则“凸数”为120与121，共2个.3分若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个，若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72个.8分∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).10分2．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？[解]可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.2分星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；4分星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；6分星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；8分同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280(种)不同的排法.10分3．设f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C－C＋C－C＋C.[解](1)f(x,6)＝(1＋x)6展开式中系数最大的项是第4项，即T4＝Cx3＝20x3.4分(2)由题意，得(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10.6分C－C＋C－C＋C＝C－C＋C－C＋C.而(1＋i)10＝C＋Ci＋Ci2＋…＋Ci9＋Ci10＝(C－C＋C－C＋C－C)＋(C－C＋C－C＋C)i＝32i，8分所以C－C＋C－C＋C＝32.10分4．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求n的展开式中二项式系数最大的项．[解]令x＝1，则(＋x2)2n的展开式各项系数之和为f(1)＝(1＋1)2n＝4n，2分(3x－1)n的展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知4n－2n＝992.4分∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.8分由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C23x＝80x，T4＝－C22x－1＝－40x－1.10分5．(2016·南通二调)设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0,1}(i＝1,2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0,1,2,3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1)当k＝2时，求m(1)的值；(2)求m(3)关于k的表达式，并化简．[解](1)当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，an中有1个或5个1，其余为0，所以m＝C＋C＝64.4分(2)依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k－1)个1，其余为0，所以m(3)＝C＋C＋C＋…＋C.同理，得m(1)＝C＋C＋C＋…＋C.6分因为C＝C(i＝3,7,11，…，4k－1)，所以m(1)＝m(3)．又m(1)＋m(3)＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝24k－1，所以m(3)＝24k－2＝42k－1.10分6．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是m展开式的前三项的系数．(1)求m展开式的中间项；(2)当n≥2时，试比较＋＋＋…＋与的大小．[解](1)m＝1＋C＋C2＋…＋C·m，依题意a1＝1，a2＝m，a3＝，由2a2＝a1＋a3可得m＝1(舍去)，或m＝8.3分所以m展开式的中间项是第五项为T5＝C4＝x4.4分(2)由(1)知，an＝3n－2，当n＝2时，＋＋＋…＋＝＋＋＝＋＋＝＞，5分当n＝3时，＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＞＋＋＝＋＋＞＋＋＞.6分猜测：当n≥2时，＋＋＋…＋＞.以下用数学归纳法加以证明：①n＝2时，结论成立，②设当n＝k时，＋＋＋…＋＞，则n＝k＋1时，＋＋＋…＋＝＋＞＋＞＋－＝＋＝＋.由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即＋＋＋…＋＞.综合①②可得，当n≥2时，＋＋＋…＋＞.10分
