高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题7 几何证明选讲 矩阵与变换 坐标系与参数方程 不等式选讲专题限时集训 理-人教版高三数学试题VIP免费

专题限时集训(二十四)几何证明选讲矩阵与变换坐标系与参数方程不等式选讲(建议用时：45分钟)1．A.[选修4－1：几何证明选讲]如图26－1，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2＝BE·BD－AE·AC.图26－1[证明]连结AD，BC，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠AFE＝90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD·BE＝BA·BF，5分又△ABC∽△AEF，∴＝，即AB·AF＝AE·AC.8分∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.即AB2＝BE·BD－AE·AC.10分B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，A的逆矩阵A－1＝.(1)求a，b的值；(2)求A的特征值．[解](1)因为AA－1＝＝＝，3分所以解得a＝1，b＝－.6分(2)由(1)得A＝，则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)(λ－1).8分令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3.10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]椭圆C的普通方程为x2＋＝1.3分将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，8分解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝.10分D．[选修4－5：不等式选讲]设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．[证明]右－左＝2x4－2x3－2x＋2＝2(x－1)(x3－1)＝2(x－1)2(x2＋x＋1)5分＝2(x－1)2≥0，所以(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1).10分2．A.[选修4－1：几何证明选讲]如图26－2，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED(E在C，D之间)，求证：∠CBE＝∠BDE.图26－2[证明]∵直线AB，直线CED分别是⊙O的切线和割线，由切割线定理得CA2＝CE·CD，∵C为线段AB的中点，∴BC2＝CA2，5分∴BC2＝CE·CD，在△BCE和△DCB中，＝.∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴∠CBE＝∠BDE.10分B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.[解]将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3.5分矩阵M＝.∴M2＝.10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．[解]直线l的普通方程为2x－y－2＝0.曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，它表示圆.5分由圆心到直线l的距离d＝＝＜2，得直线l与曲线C相交.10分D．[选修4－5：不等式选讲]解不等式2|x－1|≤5－x.[解]当x≥1时，原不等式等价于2(x－1)≤5－x，解得x≤，即1≤x≤.5分当x＜1时，原不等式等价于2(1－x)≤5－x，解得x≥－3，即－3≤x＜1.综上可知，原不等式的解集为.10分