第26讲选修4－5：不等式选讲题型一|绝对值不等式的解法已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．[解](1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；当20.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．[解](1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.2分故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.4分(2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组或6分即或8分因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.10分题型二|不等式的证明(1)(2016·南通模拟)已知x，y均为正数，且x＞y.求证：2x＋≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.[证明](1)因为x＞0，y＞0，x－y＞0，1分2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，4分所以2x＋≥2y＋3，5分(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，8分由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.10分【名师点评】1.作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)分解因式；(3)与0比较；(4)结论．关键是代数式的变形能力．2．均值不等式的应用：(1)利用均值不等式时必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合不等式的特征；(2)注意检验等号成立的条件，特别是多次使用均值不等式时，必须保证使等号同时成立．1．已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥64.【导学号：19592067】[证明]因为x为正数，所以2＋x≥2，同理2＋y≥2，2＋z≥2，5分所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥2·2·2＝8.因为xyz＝8，所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥8.10分2．设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.[证明]因为|x－1|＜，|y－2|＜，3分所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.10分3．证明下列不等式：(1)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.[证明](1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2).2分 a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0，∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.5分(2)a6＋8b6＋c6≥3＝3×a2b2c2＝2a2b2c2.6分∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.7分(3) a2＋4b2≥2＝4ab，a2＋9c2≥2＝6ac，4b2＋9c2≥2＝12bc，9分∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.10分题型三|柯西不等式的应用已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．【导学号：19592068】[解](1)因为f(x)...
