专题强化训练(十九)解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝(O为坐标原点)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)分别与l1，l2交于点M，N，求证：∠MF1N＝∠MF2N.解：(1)如图，连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线，又BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝＝，又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)可得，F1(－1,0)，F2(1,0)，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.由得由得所以M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)，所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，所以F1M⊥F1N，故∠MF1N＝.同理可得F2M⊥F2N，∠MF2N＝.故∠MF1N＝∠MF2N.2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝.即＝，解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.(2)解法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，所以MA＝(x1－m，y1＋3)，MB＝(－m，－y1＋3)，所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)，所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．解法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y①，设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x②，联立①②得，x2＝12，因为Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x.令x＝0，得B点坐标为，所以MA＝，MB＝，所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)，所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)，所以点N在定直线y＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2,1)，且右焦点F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1，a2>3.又椭圆过点M(－2,1)，∴＋＝1，又a2>3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0， 点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴，则t＝MA·MB＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5③，将①②代入③得，t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，∴t1＋t2＝.4．[2019·石家庄一模]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的另一交点分别为A、B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF|＝x0＋，由题意得：解得所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意知，过P引圆(x－3)2＋y2＝r2(0＜r≤)的切线斜率存在，设切线PA的方程为y＝k1(x－1)＋2，则圆心M到切线PA的距离d＝＝r，整理得，(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0.设切...
