专题强化训练(十七)数列1．[2019·唐山摸底]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝.(1)求an；(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由已知可得，2Sn＝3an－1，①所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，化简得an＝3an－1(n≥2)，在①中，令n＝1可得，a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有an＝3n－1.(2)bn＝(n－1)3n－1，Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③则3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n＝－(n－1)×3n＝.所以Tn＝.2．[2019·安徽示范高中]设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，n＝1,2,3，….数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋an.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设cn＝n(3－bn)，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1) n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2，∴a1＝1. Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，∴an＋1＋Sn＋1＝2.两式相减得an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0，即an＋1－an＋an＋1＝0，故有2an＋1＝an，由Sn＝2－an，知an≠0，∴＝(n∈N*)．∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，其通项公式为an＝n－1. bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，∴bn＋1－bn＝n－1，∴b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，…，bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)．将这n－1个等式相加得，bn－b1＝1＋＋2＋…＋n－2＝＝2－n－2.又b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝2,3，…)，当n＝1时也满足上式，∴bn＝3－n－2(n∈N*)．(2) cn＝n(3－bn)＝2nn－1，∴Tn＝2[0＋2×1＋3×2＋…＋(n－1)×n－2＋n×n－1]．①Tn＝2[1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n]．②①－②得，Tn＝2[0＋1＋2＋…＋n－1]－2×n×n(n∈N*)，Tn＝4×－4×n×n＝8－(8＋4n)×(n＝1,2,3，…)．3．[2019·洛阳统考]已知等差数列{an}的公差d≠0，若a3＋a9＝22，且a5，a8，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的首项为a1，依题意，，解得a1＝1，d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)bn＝＝＝＝1＋＝1＋，∴Sn＝1＋×＋1＋×＋…＋1＋＝n＋＝.4．[2019·石家庄质检]已知{an}是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2＋a3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q，由a2＋a3＝12及a1＝1，得q＋q2＝12，解得q＝3或q＝－4.因为{an}的各项均为正数，所以q>0，所以q＝3，所以an＝3n－1.(2)bn＝＝＝，所以Sn＝＝－.5．[2019·济南质量评估]已知数列{an}是递增的等差数列，满足a2＋a3＋a4＝15，a2是a1和a5的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，由a2＋a3＋a4＝15得a3＝5，由a2是a1和a5的等比中项，得a＝a1·a5，所以(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)，解得d＝0或d＝2，因为数列{an}为递增数列，所以d＝2.又a3＝5，所以a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝＝＝，所以Sn＝＝＝.6．[2019·郑州质量预测一]已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令cn＝＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12得log2(a1a2a3)＝12，∴a1a2a3＝212.设等比数列{an}的公比为q， a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212，计算得q＝4.∴an＝4·4n－1＝4n.(2)由(1)得bn＝log24n＝2n，cn＝＋4n＝＋4n＝－＋4n.设数列{}的前n项和为An，则An＝1－＋－＋…＋－＝，设数列{4n}的前n项和为Bn，则Bn＝＝(4n－1)，∴Sn＝＋(4n－1)．7．[2019·长沙四校一模]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝，S3＝.(1)求数列{an}的公比；(2)对于数列{Sn}中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a3＝，得a1＝＝，a2＝＝.由S3＝，得a1＋a2＋a3＝，所以＋＋＝，解得q＝1或q＝－.(2)当q＝1时，a1＝，Sn＝n，Sn＋1＝(n＋1)，Sn＋2＝(n＋2)，2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，即Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，所以当q＝1时，数列{Sn}中任意连续的三项Sn，Sn＋1，Sn＋2成等...
