专题强化训练(一)函数与方程思想一、选择题1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，B(3，b)，C(2,3)，O为坐标原点，若向量OB⊥AC，则a2＋b2的最小值为()A.B.C．12D．18解析：由题意得OB＝(3，b)，AC＝(2－a,1)， OB⊥AC，∴OB·AC＝3(2－a)＋b＝0，∴b＝3a－6，∴a2＋b2＝a2＋9(a－2)2＝10a2－36a＋36＝102＋，所以当a＝时，a2＋b2取得的最小值，且最小值为，故选B.答案：B2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1＝，则S5＝()A.B.C.D.解析：易知q>0且q≠1，且解得所以S5＝＝＝，故选B.答案：B3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x>0，不等式mx≤x2＋2x＋4恒成立，则实数m的取值范围为()A．(－∞，4]B．(－∞，6]C．[－2,6]D．[6，＋∞)解析： x>0，∴mx≤x2＋2x＋4⇔m≤x＋＋2对任意实数x>0恒成立．令f(x)＝x＋＋2，则m≤f(x)min，因为f(x)＝x＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝2时取等号，所以m≤6，故选B.答案：B4．[2019·河北唐山一模]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.解析：由题意可得2c＝×，所以2ac＝(a2－c2)，即e2＋2e－＝0，由e∈(0,1)，解得e＝，故选D.答案：D5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[－1,4)C．[－1，＋∞)D．[－1,6]解析：不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－22对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．令t＝∈[1,3]，所以a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，又y＝－2t2＋t＝－22＋，则当t＝1时，ymax＝－1，所以a≥－1，故选C.答案：C6．[2019·河南十所名校联考]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5＝40，则数列{an}的公差d＝()A．4B．3C．2D．1解析：由a3＋a6＝25，S5＝40得解得d＝3，故选B.答案：B7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若MF2·NF2＝0，|MF2|＝|NF2|，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.解析：由MF2·NF2＝0，知MF2⊥NF2.又|MF2|＝|NF2|，则|MF2|＝|NF2|＝|MN|，且∠F1NF2＝45°.由双曲线的定义得，两式相加，得|MF2|－|NF2|＋|MN|＝4a，即|MN|＝4a，则|NF2|＝2a，所以|NF1|＝2a＋|NF2|＝(2＋2)a.在△NF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|NF1|2＋|NF2|2－2|NF1|·|NF2|cos∠F1NF2，即4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，整理，得c2＝3a2，所以e2＝3，即e＝，故选B.答案：B8．[2019·河南期末联考]已知－<α－β<，sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ＝，则sin＝()A.B.C.D.解析：由sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ＝，将两个等式两边平方相加，得5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－，因为－<α－β<，所以α－β＝－，即α＝β－，代入sinα＋2cosβ＝1，得sin＝1，即sin＝，故选A.答案：A9．[2019·新疆昌吉月考]若关于x的不等式1＋acosx≥sin，在R上恒成立，则实数a的最大值为()A．－B.C.D．1解析：1＋acosx≥sin＝cos2x＝(2cos2x－1)，令t＝cosx∈[－1,1]，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，令f(t)＝4t2－3at－5，t∈[－1，1]，则应满足条件为解得－≤a≤，故选B.答案：B10．[2019·河南郑州质检二]函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，f(0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为()A．(0,2)B．(0,3)C．(2,3)D．(3，＋∞)解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又f(3)＝0，f(0)＝0，则g(3)＝3f(3)＝0，且g(0)＝0，则不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，所以不等式的解集为{x|0b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且AF1·AF2＝0，直线AF2交y轴于点M，若|F1F2|...
