§15.3抛物线考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.抛物线的定义和标准方程1.抛物线定义的应用2.求抛物线的标准方程A填空题解答题★☆☆2.抛物线的性质抛物线的几何性质及简单运用A填空题解答题★☆☆分析解读抛物线在近年高考中没有单独考查,是命题冷点.若高考出题考查,试题难度也会比较低,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是.答案(1,0)2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案23.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+教师用书专用(4)4.(2013广东理,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=且c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.考点二抛物线的性质1.(2017课标全国Ⅱ文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为.答案22.(2017课标全国Ⅱ理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案63.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案94.(2014课标Ⅱ改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案5.(2013江西理,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案66.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.7.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分)又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N为OH的中点,即=2.(6分)(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他...
