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高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1.极限定义:设f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,A为常数,如果对于任意给定的正数ε>0,总存在δ>0,当0<|x−x0|<δ,有|f(x)−A|<ε,称f(x)在x趋于x0时有极限,并称A为f(x)在x→x0的极限。记做limx→x0f(x)=A。2.limx→x0f(x)=A的充要条件:limx→x0f(x)=A⇔f(x0+)=f(x0−)=A3.求极限的方法(1)若f(x)在x0连续,则limx→x0f(x)=f(x0)(2)“00”型1)等价代换:当x→0时x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex−11−cosx~x222)洛必达法则:limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x)(3)“1∞”f(x)g(x)1)利用重要极限limx→0(1+x)1x=e(limx→∞(1+1x)x=e)2)化为“00”型(4)有界量与无穷小乘积仍是无穷小。(5)利用泰勒公式:掌握ln(1+x)和ex在x=0点的泰勒展开求极限。1f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x2+f'''(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)ln(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)二、无穷小的比较极限为零的变量。limx→x0f(x)=0,称f(x)在x→x0时为无穷小设f(x),g(x)在x→x0时为无穷小,则如果limg(x)f(x)=0,就说g(x)是比α高阶的无穷小,记作g(x)=o(f(x));如果limg(x)f(x)=∞,就说g(x)是比α低阶的无穷小;如果limg(x)f(x)=c≠0,就说g(x)与α同阶的无穷小;如果limg(x)f(x)=1,就说g(x)与α是等价的无穷小,记作f(x)~g(x)。如果α→0,β→0,α'→0,β'→0,且α~α',β~β',则limαβ=limα'β=limαβ'=limα'β'三、连续(注意不讨论间断点及其类型)1.定义:如果limx→x0f(x)=f(x0)那么就称函数y=f(x)在点x0连续。limΔx→0Δy=02.主要条件:limx→x0−f(x)=f(x0)=limx→x0+f(x)(由此可求两个参数)2四、导数与微分1.导数定义:f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx或limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx,f'(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h和f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x02.充要条件:f−'(x0)=f+'(x0)f−'(x0)=limh→0−f(x0+h)−f(x0)h3.必要条件:可导必连续4.几何意义:切线斜率.切线方程y−y0=f'(x0)(x−x0)5.微分:dy=f'(x)dx,dy|x=x0=f'(x0)dxΔy=f'(x0)Δx+o(Δx)题型求分段函数在分段点的导数使用定义,其他点使用公式五.导数计算1.初等函数求导公式(16个求导公式,5个求导法则)导数公式微分公式(xμ)'=μxμ−1d(xμ)=μxμ−1dx(sinx)'=cosxd(sinx)=cosxdx(cosx)'=−sinxd(cosx)=−sinxdx(tanx)'=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)'=−csc2xd(cotx)=−csc2xdx(secx)'=secxtanxd(secx)=secxtanxdx(cscx)'=−cscxcotxd(cscx)=−cscxcotxdx(ax)'=axlnad(ax)=axlnadx(ex)'=exd(ex)=exdx3(logax)'=1xlnad(logax)=1xlnadx(lnx)'=1xd(lnx)=1xdx(arcsinx)'=1√1−x2d(arcsinx)=1√1−x2dx(arccosx)'=−1√1−x2d(arccosx)=−1√1−x2dx(arctanx)'=11+x2(−∞,+∞)d(arctanx)=11+x2dx(arccotx)'=−11+x2(−∞,+∞)(arccotx)'=−11+x2(−∞,+∞)(1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),[cu(x)]'=cu'(x)(3)。[u(x)v(x)]′=u'(x)v(x)−u(x)v'(x)v2(x)(v(x)≠0)[cv(x)]′=−cv'(x)v2(x)(v(x)≠0)(4)复合函数导数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)],u称为中间变量,dydx=dydu⋅dudx2.{x=ϕ(t)¿¿¿¿参数方程求二阶导数dydx=dydtdxdtd2ydx2=dy'dx=dy'dtdxdt,{x=ϕ(t)¿¿¿¿d2ydx2=ψ''(t)ϕ'(t)−ψ'(t)ϕ''(t)ϕ¿(t)3.隐函数求二阶导数:F(x,y)=0y=y(x),方程两边对x求导,y的函数看成x的复合函数4.几分上限函数求导ddx∫axf(t)dt=(∫axf(t)dt)′=f(x)ddx∫φ(x)ϕ(x)f(t)dt=f(ϕ(x))ϕ'(x)−f(φ(x))φ'(x)4六、函数不等式的证明1.方法:利用最值,单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性:单调升:f(x1)≤f(x2),当x10,f单调升,f'<0,f单调降利用单调性证不等式,证f(x)

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