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高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1．极限定义：设f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，A为常数，如果对于任意给定的正数ε>0，总存在δ>0，当0<|x−x0|<δ，有|f(x)−A|<ε，称f(x)在x趋于x0时有极限，并称A为f(x)在x→x0的极限。记做limx→x0f(x)=A。2．limx→x0f(x)=A的充要条件：limx→x0f(x)=A⇔f(x0+)=f(x0−)=A3．求极限的方法（1）若f(x)在x0连续，则limx→x0f(x)=f(x0)（2）“00”型1）等价代换：当x→0时x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex−11−cosx~x222）洛必达法则：limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x)（3）“1∞”f(x)g(x)1）利用重要极限limx→0(1+x)1x=e(limx→∞(1+1x)x=e)2）化为“00”型（4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（5）利用泰勒公式：掌握ln(1+x)和ex在x=0点的泰勒展开求极限。1f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x2+f'''(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)ln(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)二、无穷小的比较极限为零的变量。limx→x0f(x)=0，称f(x)在x→x0时为无穷小设f(x),g(x)在x→x0时为无穷小，则如果limg(x)f(x)=0，就说g(x)是比α高阶的无穷小，记作g(x)=o(f(x))；如果limg(x)f(x)=∞，就说g(x)是比α低阶的无穷小；如果limg(x)f(x)=c≠0，就说g(x)与α同阶的无穷小；如果limg(x)f(x)=1，就说g(x)与α是等价的无穷小，记作f(x)~g(x)。如果α→0,β→0,α'→0,β'→0，且α~α',β~β'，则limαβ=limα'β=limαβ'=limα'β'三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1．定义：如果limx→x0f(x)=f(x0)那么就称函数y=f(x)在点x0连续。limΔx→0Δy=02．主要条件：limx→x0−f(x)=f(x0)=limx→x0+f(x)（由此可求两个参数）2四、导数与微分1．导数定义：f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx或limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx，f'(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h和f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x02．充要条件：f−'(x0)=f+'(x0)f−'(x0)=limh→0−f(x0+h)−f(x0)h3．必要条件：可导必连续4．几何意义：切线斜率.切线方程y−y0=f'(x0)(x−x0)5．微分：dy=f'(x)dx，dy|x=x0=f'(x0)dxΔy=f'(x0)Δx+o(Δx)题型求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五．导数计算1．初等函数求导公式（16个求导公式，5个求导法则）导数公式微分公式(xμ)'=μxμ−1d(xμ)=μxμ−1dx(sinx)'=cosxd(sinx)=cosxdx(cosx)'=−sinxd(cosx)=−sinxdx(tanx)'=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)'=−csc2xd(cotx)=−csc2xdx(secx)'=secxtanxd(secx)=secxtanxdx(cscx)'=−cscxcotxd(cscx)=−cscxcotxdx(ax)'=axlnad(ax)=axlnadx(ex)'=exd(ex)=exdx3(logax)'=1xlnad(logax)=1xlnadx(lnx)'=1xd(lnx)=1xdx(arcsinx)'=1√1−x2d(arcsinx)=1√1−x2dx(arccosx)'=−1√1−x2d(arccosx)=−1√1−x2dx(arctanx)'=11+x2(−∞,+∞)d(arctanx)=11+x2dx(arccotx)'=−11+x2(−∞,+∞)(arccotx)'=−11+x2(−∞,+∞)（1）[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)（2）[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，[cu(x)]'=cu'(x)（3）。[u(x)v(x)]′=u'(x)v(x)−u(x)v'(x)v2(x)(v(x)≠0)[cv(x)]′=−cv'(x)v2(x)(v(x)≠0)(4)复合函数导数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]，u称为中间变量，dydx=dydu⋅dudx２．{x=ϕ(t)¿¿¿¿参数方程求二阶导数dydx=dydtdxdtd2ydx2=dy'dx=dy'dtdxdt，{x=ϕ(t)¿¿¿¿d2ydx2=ψ''(t)ϕ'(t)−ψ'(t)ϕ''(t)ϕ¿(t)３．隐函数求二阶导数：F(x,y)=0y=y(x),方程两边对x求导，y的函数看成x的复合函数4.几分上限函数求导ddx∫axf(t)dt=(∫axf(t)dt)′=f(x)ddx∫φ(x)ϕ(x)f(t)dt=f(ϕ(x))ϕ'(x)−f(φ(x))φ'(x)4六、函数不等式的证明1．方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性：单调升：f(x1)≤f(x2)，当x10，f单调升，f'<0，f单调降利用单调性证不等式，证f(x)