§11.2直接证明与间接证明考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★分析解读本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一直接证明1.(2013广东理,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)依题意,得2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2Sn=nan+1-n3-n2-n,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.教师用书专用(2)2.(2013湖北理,22,14分)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>-1且x≠0时,有(1+x)r+1>1+(r+1)x.①在①中,令x=(这时x>-1且x≠0),得>1+.上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),即nr<.②当n>1时,在①中令x=-(这时x>-1且x≠0),类似可得nr>.③且当n=1时,③也成立.综合②,③得0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a0),所以g'(x)=ex-m.当m≤1时,g'(x)=ex-m>e0-m≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=1,此时函数无零点.当m>1时,令g'(x)=ex-m=0,得x=lnm,当x∈(0,lnm)时,g'(x)<0,g(x)在(0,lnm)上单调递减;当x∈(lnm,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(lnm,+∞)上单调递增.故g(x)min=g(lnm)=m-mlnm=m(1-lnm).当10,此时函数无零点,当m=e时,g(x)min=0,此时函数有1个零点.当m>e时,g(lnm)<0.又因为g(0)=1>0,故函数在(0,lnm)上有唯一零点.g(2lnm)=e2lnm-m·2lnm=m2-2mlnm=m(m-2lnm),令φ(m)=m-2lnm(m>e),则φ'(m)=1->0,所以φ(m)在(e,+∞)上单调递增,φ(m)>e-2>0,故g(2lnm)>0,故函数在(lnm...
