课时达标检测(五十）直接证明与间接证明[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·南京金陵中学模拟)用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为________．解析：用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，则结论“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．答案：a，b，c，d全都为非负数2．(2018·盐城中学模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是________．解析：＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.答案：(a－b)(a－c)＞03．设a，b，c均为正实数，则对于三个数a＋，b＋，c＋，下列叙述中正确的是________．(填序号)①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2.解析： a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案：④4．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________．解析： a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋＞＋＞＋＞0，∴a＞b＞c.答案：a＞b＞c[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·南通模拟)已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为________．解析：因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.答案：A≤B≤C2．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案：③3．已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．若a1＝6，则集合M＝________.解析：由题可知，a2＝2a1＝12，a3＝2a2＝24，a4＝2a3－36＝12，a5＝2a4＝24，a6＝2a5－36＝12，…，所以M＝{6,12,24}．答案：{6,12,24}4．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是________．解析： c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a.∴b＝1＋a2＞a.∴c≥b＞a.答案：c≥b＞a5．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则m与n的大小关系是________．解析：m＝＝＝≤＝，n＝b2－b＋＝2＋≥，所以n≥m.答案：n≥m6．(2018·泰州中学模拟)设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是________．解析：易知f(x)＝在定义域内是增函数，由f(f(b))＝b，猜想f(b)＝b.反证法：若f(b)＞b，则f(f(b))＞f(b)＞b，与题意不符，若f(b)＜b，则f(f(b))＜f(b)＜b，与题意也不符，故f(b)＝b，即f(x)＝x在[0,1]上有解．所以＝x，a＝ex－x2＋x，令g(x)＝ex－x2＋x，g′(x)＝ex－2x＋1＝(ex＋1)－2x，当x∈[0,1]时，ex＋1≥2,2x≤2，所以g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上是增函数，所以g(0)≤g(x)≤g(1)，所以1≤g(x)≤e，即1≤a≤e.答案：[1，e]7．(2018·苏州模拟)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．答案：a，b中没有一个能被5整除8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.答案：cn＋1＜cn9．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，解关于x的...
