专项小测(十四)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{an}为等差数列，a7－a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值．解：(1)设数列{an}是公差为d的等差数列，由a7－a2＝10，得5d＝10，d＝2.(2分)由a1，a6，a21依次成等比数列，可得a＝a1a21，即(a1＋10)2＝a1(a1＋40)，解得a1＝5，(4分)所以an＝5＋2(n－1)＝2n＋3.(6分)(2)bn＝＝＝，(8分)所以数列{bn}的前n项和为Sn＝＝＝.(10分)由Sn＝，可得5n＝4n＋10，解得n＝10.(12分)18．(12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.(1)证明：平面D′EF⊥平面ABCD；(2)求直线CD′与平面ABD′所成角的正弦值．解：(1)∵AE＝CF＝，∴＝，∴EF∥AC.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D′H.(2分)∵AC＝6，∴AO＝3.又∵AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH＝·OD＝1，∴DH＝D′H＝3，∴OD′2＝OH2＋D′H2，∴D′H⊥OH.(4分)又∵OH∩EF＝H，∴D′H⊥平面ABCD.∵D′H⊂平面D′EF，∴平面D′EF⊥平面ABCD.(6分)(2)如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz，则B(5,0,0)，C(1,3,0)，D′(0,0,3)，A(1，－3,0)，AB＝(4,3,0)，AD′＝(－1,3,3)．(8分)设平面ABD′的法向量n＝(x，y，z)，则由得取x＝3，得∴n＝(3，－4,5)．(10分)设直线CD′与平面ABD′所成角为θ，∵CD′＝(－1，－3,3)，∴sinθ＝|cos〈CD，n〉|＝＝＝.(12分)19．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.解：(1)由题意得解得.(2分)所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)(2)当l与x轴重合时，∠FMA＝∠FMB＝0°；(5分)当l与x轴垂直时，直线MF恰好平分∠AMB，则∠FMA＝∠FMB；(6分)当l与x轴不重合也不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．代入椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.直线MA，MB的斜率之和为kAM＋kBM＝＋＝＝＝.(8分)因为2·＋5＋8＝＝0，所以kAM＋kBM＝0.(10分)故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠FMA＝∠FMB.综上，∠FMA＝∠FMB.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心极坐标为且经过极点的圆．(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；(2)已知射线θ＝(ρ≥0)分別与曲线C1，C2交于点A，B(点B异于坐标原点O)，求线段AB的长．解：(1)由曲线C1的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得＋y2＝1，将代入＋y2＝1得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝＝，由曲线C2是圆心的极坐标为且经过极点的圆．可得其极坐标方程为ρ＝2sinθ，从而得C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.(5分)(2)将θ＝(ρ≥0)代入ρ＝2sinθ得ρB＝2sin＝，又将θ＝(ρ≥0)代入ρ2＝得ρA＝＝，故|AB|＝ρB－ρA＝－＝.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|－1.(1)若a≥1，求不等式f(x)≥2的解集；(2)若x∈[1,2]时，f(x)＋x≤4恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)|x＋a|＋|x－2|－1≥2，即|x＋a|＋|x－2|≥3.∵|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且a≥1，a＋2≥3，∴不等式f(x)≥2的解集为R.(5分)(2)若x∈[1,2]，f(x)＝|x＋a|＋2－x－1,则f(x)＋x≤4等价于|x＋a|≤3恒成立，即－3－x≤a≤3－x，所以－4≤a≤1.故实数a的取值范围为[－4,1]．(10分)
