专项小测(十八)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{an}满足an≠0，且3an－3an＋1＝anan＋1，等比数列{bn}中，b2＝a1，b4＝3，b6＝9.(1)证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式．(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn.解：(1)因为an≠0，且3an－3an＋1＝anan＋1，所以等号两边同时除以3anan＋1，得－＝，所以数列是公差为的等差数列．(2分)因为{bn}是等比数列，所以b2b6＝b，又b4＝3，b6＝9，所以9b2＝9，所以b2＝1，(4分)所以a1＝b2＝1，故＝＋(n－1)＝1＋(n－1)＝，an＝.(6分)(2)由(1)知anan＋1＝＝9，(8分)所以Sn＝9＝9＝.(12分)18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝.(1)求证：OE⊥平面ABCD；(2)若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q－BC－A的余弦值．解：(1)证明：取BC的中点H，连结OH、FH、OE.因为FB＝FC，所以FH⊥BC.因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝BC，FH⊂平面FBC，所以FH⊥平面ABCD.(2分)因为H、O分别为BC、AC的中点，所以OH∥AB且OH＝AB＝.(4分)又因为EF∥AB，EF＝，所以EF綊OH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OE∥FH，所以OE⊥平面ABCD.(6分)(2)因为菱形ABCD，所以OA＝OC＝OE＝FH＝2，所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．则A(2,0,0)，B，C(－2,0,0)，E(0,0,2)，所以Q(1,0,1)，BC＝，CQ＝(3,0,1)．(8分)设平面BCQ的法向量为m＝(x，y，z)．由得取x＝1，则y＝－，z＝－3可得m＝(1，－，－3)，平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)．(10分)设二面角Q－BC－A的平面角为θ，则cos〈m，n〉＝＝＝.因为二面角Q－BC－A的平面角为锐角，所以cosθ＝，所以二面角Q－BC－A的余弦值为.(12分)19．(12分)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额x(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y(万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012年—2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2(万元)的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．参考公式：b＝＝，a＝－b，参考数据：∑xiyi＝359.6，∑x＝259.解：(1)＝×(4.5＋5.5＋5＋6＋6.5＋7＋7.5)＝6，＝×(6＋7＋7.4＋8.1＋8.9＋9.6＋11.1)＝8.3，7＝348.6，b＝＝＝≈1.571，a＝－b＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，那么回归直线方程为y＝1.57x－1.13，(2分)将x＝8代入方程得y＝1.57×8－1.13＝11.43，(4分)即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.(6分)(2)由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ1.521.92.12.42.63.6ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，(8分)则分布列为ξ123P(10分)E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求ΔOAB面积的最大值．解：(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(5分)(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，B，其中ρ1＞0，ρ2＞0，－<θ0<.由(1)知ρ1＝4cosθ0，ρ2＝4cos，所以△OAB面积S＝ρ1ρ2sin＝4cosθ0cos，所以S＝2cos2θ0－6sinθ0cosθ0＝(1＋cos2θ0)－3sin2θ0＝2cos＋.当2θ0＋＝0时，即θ0＝－，cos有最大值1，此时Smax＝3，故△OAB面积的最大值为3.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知正实数a，b满足a＋b＝2.(1)求证：＋≤2；(2)若对任意正实数a，b，不等式|x＋1|－|x－3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．...
