专项小测(十九)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求∠B的大小；(2)若AM＝，求△AMC的面积．解：(1)由cos∠BAM＝，得sin∠BAM＝，(1分)由cos∠AMC＝－，得sin∠AMC＝.(2分)又∠AMC＝∠BAM＋∠B，所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM)＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM＝－×＋×＝－，(5分)又∠B∈(0，π)，所以∠B＝.(6分)(2)解法一：由(1)知∠B＝，在△ABM中，由正弦定理得＝，所以BM＝＝＝.(9分)因为M是边BC的中点，所以MC＝.(10分)故S△AMC＝AM·MC·sin∠AMC＝×××＝.(12分)解法二：由(1)知∠B＝，在△ABM中，由正弦定理得＝，所以BM＝＝＝.(9分)因为M是边BC的中点，所以S△AMC＝S△ABM，(10分)所以S△AMC＝S△ABM＝AM·BM·sin∠BMA＝×××＝.(12分)18．(12分)为了解学生寒假期间的学习情况，学校对某班男、女学生学习的时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；(3)试比较男生学习时间的方差S与女生学习时间方差S的大小．(只需写出结论)解：(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人，所以可估计全校中每天学习不足4小时的人数为400×＝240人．(4分)(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男学生人数为4人，所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得P(X＝0)＝＝；(5分)P(X＝1)＝＝＝；(6分)P(X＝2)＝＝＝；(7分)P(X＝3)＝＝＝；(8分)P(X＝4)＝＝，(9分)所以随机变量X的分布列为X01234P(10分)(3)由折线图可得S＞S.(12分)19．(12分)已知椭圆C：＋y2＝1，点A(2,0)，动直线y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ.(1)若k＝0，求实数λ的值；(2)若λ＝－，求证：直线MN过定点．解：(1)不妨设M(－2，m)，N(2，m)k1＝，k2＝，(2分)k1k2＝－＝，∴λ＝.(4分)(2)联立得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.(6分)∵k1k2＝·＝＝－，∴4(kx1＋m)(kx2＋m)＋3(x1－2)(x2－2)＝0，∴(4k2＋3)x1x2＋(4km－6)(x1＋x2)＋4m2＋12＝0，(8分)∴(4k2＋3)＋(4km－6)＋4m2＋12＝0.∴2k2＋m2＋3km＝0，(10分)∴m＝－k或m＝－2k，均符合Δ＞0.若m＝－2k，直线MN：y＝k(x－2)过A(2,0)，与已知矛盾，∴m＝－k，直线MN：y＝k(x－1)过定点(1,0)．(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．解：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为ρ2－4ρsinθ＝0，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，曲线C2的极坐标方程可以化为ρsinθ·＋ρcosθ·＝2，所以曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(5分)(2)因为点E的坐标为(4,0)，C2的倾斜角为，所以C2的参数方程为(t为参数)，将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得2＋－2t＝0，整理得t2－(4＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，中点对应的参数为2＋1，所以线段AB中点到E点距离为2＋1.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝－|x－a|＋a，g(x)＝|2x－1|＋|2x＋4|.(1)解不等式g(x)＜6；(2)若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得－g(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由|2x－1|＋|2x＋4|＜6得①当x≤－2时，－2x＋1－2x－4＜6，得x＞－，即－＜x≤－2；②当－2＜x＜时，－2x＋1＋2x＋4＜6，得5＜6，即－2＜x＜；③当x≥时，2x－1＋2x＋4＜6，得x＜，即≤x＜.综上，不等式g(x)＜6的解集是.(5分)(2)对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得－g(x1)＝f(x2)成立，即f(x)的值域包含－g(x)的值域，由f(x)＝－|x－a|＋a，知f(x)∈(－∞，a]．因为g(x)＝|2x－1|＋|2x＋4|≥|(2x－1)－(2x＋4)|＝5，且等号能成立，所以－g(x)∈(－∞，－5]，所以a≥－5，即a的取值范围为[－5，＋∞)．(10分)
