专项小测(二十)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)数列{an}中，a1＝2，(n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1)．(1)求a2，a3的值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，设数列{}的前n项和为Sn，{an＋1－an}的前n项和为Tn，若＞360，求n的取值范围．思路分析：(1)根据已知条件，分别令n＝1，n＝2，求得a2，a3的值．(2)根据a2＝6判断出数列的通项公式为an＝n2＋n＝n(n＋1)，利用裂项求和法求得Sn的值，利用累加法求得Tn的值，根据＞360列不等式，解不等式求得n的取值范围．解：(1) (n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1)，∴an＋1＝an＋2，∴a2＝a1＋2＝6，(2分)a3＝a2＋2＝12.(4分)(2)由数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，和a2＝6得数列{an}的通项公式是an＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，∴Sn＝1－.(8分) (a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝an＋1－a1，an＝n(n＋1)，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝n2＋3n，即Tn＝n2＋3n.(10分)由＞360，得n2＋4n－357＞0，解得n＞17或n＜－21. n是正整数，∴所求n的取值范围为n＞17，且n是正整数．(12分)18．(12分)在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AE＝BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P－EC－D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使异面直线DM和PE所成角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．解：设O是AD中点，△PAD为正三角形，则PO⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥平面ABCD，又 AD＝AE＝2，∠DAB＝60°，所以△ADE为正三角形，OE⊥AD.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则P，EC，D，于是PC＝(－2，，－)，PE＝(0，，－)，DP＝(1,0，)．(1)设平面PEC的法向量为n1＝(x，y，z)．由PC·n1＝0，PE·n1＝0得一个法向量n1＝(0,1,1)，平面EDC的一个法向量为n2＝(0,0,1)．设二面角P－EC－D的平面角为θ，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉＝＝.由图知θ为锐角，所以二面角P－EC－D的余弦值为.(2)设PM＝λPC(0≤λ≤1)，则PM＝(－2λ，λ，－λ)，DM＝DP＋PM＝(1－2λ，λ，－λ)，PE＝(0，，－)，所以|cos〈DM，PE〉＝|＝＝，解得λ＝或，所以存在满足题设的点M，且点M为线段PC的三等分点．19．(12分)为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛．已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示．(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数；(2)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；(3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数)．参考数据：P(μ－σ82)≈(1－0.6827)＝0.15865，P(Z>45)≈0.6927＋0.15865＝0...
