专项小测(二十一)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝2.(1)若AD＝BD＝3，求△ABC的面积；(2)若AD＝2，BD＝4，求sinB的值．解：(1)当AD＝BD＝3时，△ABD的面积S△ABD＝·AD·BD·sin∠ADB＝·3·3·＝，△ACD的面积S△ACD＝·AD·CD·sin∠ADC＝·3·2·＝，△ABC的面积S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝＋＝.(2)当AD＝2，BD＝4时，∠ADB＝180°－∠ADC＝120°，在△ADB中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋42－2×2×4×＝28，故AB＝2.在△ADB中，由正弦定理得＝，即＝，整理得sin∠B＝＝.18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB.(1)过BD作截面与线段CF交于点N，使得AF//平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)当N为线段FC的中点时，使得AF∥平面BDN.证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝O. 四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．又 N为FC的中点，∴ON为△ACF的中位线，∴AF∥ON.(2分) AF⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN，故N为FC的中点时，使得AF∥平面BDN.(4分)(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.因为O为AC的中点，所以P，Q分别为AD，BC的中点． ΔADE与ΔBCF均为等边三角形，且AD＝BC，∴ΔADE≅ΔBCF，连接EP，FQ，则得EP＝FQ. EF∥AB，AB綊PQ，EF＝AB，∴EF∥PQ，EF＝PQ，∴四边形EPQF为等腰梯形．取EF的中点M，连接MO，则MO⊥PQ.(6分)又 AD⊥EP，AD⊥PQ，EP∩PQ＝P，∴AD⊥平面EPQF.过O点作OG⊥AB于G，则OG∥AD，∴OG⊥OM，OG⊥OQ.(8分)分别以OG，OQ，OM的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，不妨设AB＝4，则由条件可得：O(0,0,0)，A(1，－2,0)，B(1,2,0)，F(0,1，)，D(－1，－2，0)，N.AB＝(0,4,0)，AF＝(－1,3，)．设n＝(x，y，z)是平面ABF的法向量，则即所以可取n＝(，0,1)．(10分)由BN＝，可得|cos〈BN，n〉|＝＝，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.(12分)19．(12分)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)经过点A(1,2)，过A作两条不同直线l1，l2，其中直线l1，l2关于直线x＝1对称．(1)求抛物线E的方程及准线方程；(2)设直线l1，l2分别交抛物线E于B、C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线E的准线相切，求直线BC的方程．解：(1) 抛物线E过点A(1,2)，∴2p＝4，解得p＝2，(2分)∴抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(4分)(2)法一：不妨设B在C的左边，从而可设直线AB的方程为x－1＝m(y－2)(m＞0)，即x＝my－2m＋1，由消去x整理得y2－4my＋8m－4＝0.设B(xB，yB)，则yB＋2＝4m，故yB＝4m－2，∴xB＝4m2－4m＋1，∴点B(4m2－4m＋1,4m－2)．(6分)又由条件得AB与AC的倾斜角互补，以－m代替点B坐标中的m，可得点C(4m2＋4m＋1，－4m－2)．∴|BC|＝＝8m，且BC中点的横坐标为＝4m2＋1.(8分) 以线段BC为直径的圆与抛物线E的准线相切，∴4m2＋1＋1＝＝4m，解得m＝，(10分)∴B(3－2，2－2)，C(3＋2，－2－2)∴kBC＝－1，∴直线BC的方程为y－(2－2)＝－(x－3＋2)，即x＋y－1＝0.(12分)法二：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线l1，l2关于x＝1对称，所以AB与AC的倾斜角互补，所以kAB＋kAC＝＋＝＋＝＋＝0，所以y1＋y2＝－4，所以kBC＝＝＝＝－1.(6分)设直线BC的方程为y＝－x＋m，由消去y整理得x2－(2m＋4)x＋m2＝0，所以x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m2，所以|BC|＝|x1－x2|＝4，且BC中点D的横坐标为＝m＋2.(8分)因为以线段BC为直径的圆与抛物线的准线x＝－1相切，所以＋1＝，即m＋3＝2，解得m＝1，(10分)所以直线BC的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝3，且曲线C1与C2恰有一个公共点．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)已知曲线C1上两点A，B满足∠AOB＝，求△AOB面积的最大值．...
