第2节参数方程【选题明细表】知识点、方法题号参数方程与普通方程互化1参数方程及其应用2,3极坐标方程与参数方程的综合41.(2016张掖模拟)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知P点的极坐标为(4,),曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=4.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最大值.解:(1)已知P点的极坐标为(4,),所以x=ρcosθ=6,y=ρsinθ=2,所以点P的直角坐标为(6,2).由ρ2+4ρsinθ=4,得x2+y2+4y=4,即x2+(y+2)2=16,所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y+2)2=16.(2)由l:(t为参数)可得直线l的普通方程为x-y-5=0,由曲线C的直角坐标方程x2+(y+2)2=16,可设点Q(4cosθ,4sinθ-2),所以点M坐标为(2cosθ+3,2sinθ),所以点M到直线l的距离d==.当cos(θ+)=-1时,d取得最大值2+,所以点M到直线l距离的最大值为2+.2.(2016贵阳一测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=1.(1)求直线l与圆C的公共点个数;(2)在平面直角坐标系中,圆C经过伸缩变换得到曲线C′,设M(x,y)为曲线C′上一点,求4x2+xy+y2的最大值,并求相应点M的坐标.解:(1)直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程是x-y-=0,圆C的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程是x2+y2=1.因为圆心(0,0)到直线l的距离为d==1,等于圆的半径r,所以直线l与圆C的公共点的个数是1.(2)圆C的参数方程是(0≤θ<2π),所以曲线C′的参数方程是(0≤θ<2π),所以4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ·2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ.当θ=或θ=时,4x2+xy+y2取得最大值5,此时M的坐标为(,)或(-,-).3.(2016保定一模)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度).(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x即为所求直角坐标方程.(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,由Δ=16(sinα+cosα)2-16>0,sinαcosα>0.又α∈[0,π),所以α∈(0,),所以t1+t2=-4(sinα+cosα),t1t2=4.所以t1<0,t2<0.所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sinα+cosα)=4sin(α+),由α∈(0,)可得(α+)∈(,),所以
