考点过关检测（二十）1．(2019·马鞍山期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，离心率为，过原点O作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于点A，C，直线l2交椭圆于点B，D，且|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝24.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：|k1k2|为定值．解：(1)由题意知解得故椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，由＋＝1，得y2＝4－2x2，|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|DA|2)＝2[(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝4(x＋x＋y＋y)＝4(x＋x＋4－2x＋4－2x)＝4×(8－x－x)＝24，所以x＋x＝2，|k1·k2|＝＝＝＝＝2，故|k1k2|为定值2.2．(2019·绵阳诊断)已知点E(－2,0)，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(2,0)，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABE的周长为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点N，已知NA＝mAF，NB＝nBF，求m＋n的值．解：(1)由题意知，E为椭圆的左焦点，∴|AB|＋|AE|＋|BE|＝|AF|＋|BF|＋|AE|＋|BE|＝4a＝12，解得a＝3，又c＝2，故b2＝a2－c2＝9－4＝5，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题知F(2,0)，若直线AB恰好过原点，则A(－3,0)，B(3,0)，N(0,0)，∴NA＝(－3,0)，AF＝(5,0)，则m＝－，NB＝(3,0)，BF＝(－1,0)，则n＝－3，∴m＋n＝－.若直线AB不过原点，设直线AB：x＝ty＋2，t≠0，A(ty1＋2，y1)，B(ty2＋2，y2)，N.则NA＝，AF＝(－ty1，－y1)，NB＝，BF＝(－ty2，－y2)，由NA＝mAF，得y1＋＝m(－y1)，从而m＝－1－；由NB＝nBF，得y2＋＝n(－y2)，从而n＝－1－，故m＋n＝－1－＋＝－2－＝－2－×.联立整理得(5t2＋9)y2＋20ty－25＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴m＋n＝－2－×＝－2－×＝－2－＝－.综上所述，m＋n＝－.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△POQ的面积是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0，∴k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1.∴△POQ的面积为定值，且为1.4．(2019·沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使OM·ON＝m时，点O到直线MN的距离为定值，并求这个定值．解：(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝＝.联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ>0得4k2－n2＋3>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得＝12＋.因为d＝为常数，则m＝0，d＝＝，此时＝12满足Δ>0.当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，联立消去y，得x2＝，点O到直线MN的距离d＝|x|＝亦成立．综上，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.
