考点过关检测（二十四）1.如图，曲线E：＋＝1(m>0，n>0)与正方形L：|x|＋|y|＝4相切．(1)求m＋n的值；(2)设直线l：y＝x＋b交曲线E于A，B两点，交L于C，D两点，是否存在这样的曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)联立消去y，得(n＋m)x2－8m|x|＋16m－mn＝0，则Δ＝64m2－4(m＋n)(16m－mn)＝0，化简得4mn(m＋n)－64mn＝0.又m>0，n>0所以mn>0，从而有m＋n＝16.(2)假设存在符合题意的曲线E，有2|AB|＝|CA|＋|BD|，所以|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＝3|AB|＝4，即|AB|＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(n＋m)x2＋2bmx＋mb2－mn＝0.由Δ＝－4nmb2＋4n2m＋4m2n>0，可得b2b>0)的焦点F1的坐标为(－c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P，PF2⊥x轴．(1)求椭圆C的方程．(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵PF2⊥x轴，P，∴c＝1，＋＝1，又∵a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在点M(x0，y0)，当l斜率不存在时，|F1M|＝|F1F2|，a－c＝2c，不成立；当l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，∵Δ＝16(9k2＋9)>0，∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，则AB的中点坐标为.AB与MF2的中点重合，∴∴代入椭圆的方程＋＝1化简得80k4＋24k2－27＝0，解得k2＝，即k＝±.∴存在符合条件的直线l的方程为y＝±(x＋1)．3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45°的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝16.(1)求抛物线C的方程．(2)设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PM⊥PN，若P点的横坐标为8，判断直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．解：(1)由题意知，直线AB的方程为y＝x＋.由消去x，整理得y2－3py＋＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝3p.∴|AB|＝yA＋yB＋p＝4p＝16，∴p＝4.∴抛物线C的方程为x2＝8y.(2)由(1)可得点P(8,8)，设M，N，则kPM＝＝，同理可得kPN＝.∵PM⊥PN，∴kPM·kPN＝·＝－1，化简得x1x2＋8(x1＋x2)＋128＝0(*)．易知直线MN的斜率一定存在，设直线MN为y＝kx＋b，由得x2－8kx－8b＝0，则Δ＝64k2＋32b>0，且x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.代入(*)，得－8b＋64k＋128＝0，∴b＝8k＋16.∴直线MN的方程可化为y＝kx＋8k＋16＝k(x＋8)＋16，∴直线MN过定点(－8,16)．4．(2019·广东百校联考)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判断直线PA，PM，PB的斜率能否构成等差数列？请说明理由．解：(1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c＝2.由得故椭圆C的方程为＋＝1.(2)直线PA，PM，PB的斜率能构成等差数列．理由如下：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．由消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.①设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝，k2＝，k3＝＝k－.因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)．所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×.②把①代入②，得k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
