考点过关检测（十二）1．(2019·重庆一诊)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内解析：选B假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.2．(2019·哈尔滨六中模拟)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题正确的个数为()①若α⊥β，l⊥α，则l∥β；②若a⊥l，b⊥l，则a∥b；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥α，l⊥β，则α∥β.A．0B．1C．2D．3解析：选B在①中，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误；在②中，若a⊥l，b⊥l，则a与b相交、平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故③错误；在④中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故选B.3．(2019·辽宁五校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则()A．MN∥C1D1B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1D．MN⊥平面ACC1解析：选D如图，设CC1的中点为P，连接NP，则NP∥C1D1，又MN∩NP＝N，所以MN∥C1D1是不可能的(实际上MN与C1D1是异面直线)，所以选项A错误；假设MN⊥BC1，连接CM，易知CM⊥BC1，又MN∩CM＝M，所以BC1⊥平面MNC，所以BC1⊥CD1，所以AD1⊥CD1，这与△ACD1为等边三角形矛盾，所以假设错误，即选项B错误；假设MN⊥平面ACD1，则MN⊥CD1，连接MD1，因为N为CD1的中点，所以MC＝MD1，这不可能理由：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则易求得MC＝，MD1＝，所以假设错误，即选项C错误；设CD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则易知MN∥EF，且EF⊥平面ACC1，所以MN⊥平面ACC1，所以选项D正确．故选D.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题错误的是()A．存在P，Q的某一位置，使AB∥PQB．△BPQ的面积为定值C．当PA>0时，直线PB1与AQ是异面直线D．无论P，Q运动到任何位置，均有BC⊥PQ解析：选B在A中，当P，Q分别是线段AD1和B1C的中点时，AB∥PQ，故A正确；在B中，P在A处时，△BPQ的面积为，P在AD1中点时，△BPQ的面积不为，故△BPQ的面积不是定值，故B错误；在C中，当PA>0时，假设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，与已知矛盾，所以直线PB1与AQ是异面直线，故C正确；在D中，BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得无论P，Q运动到任何位置，均有BC⊥PQ，故D正确．故选B.5．(2019·唐山三模)若异面直线m，n所成的角是60°，则以下三个命题：①存在直线l，满足l与m，n的夹角都是60°；②存在平面α，满足m⊂α，n与α所成角为60°；③存在平面α，β，满足m⊂α，n⊂β，α与β所成锐二面角为60°.其中正确的命题为________(填序号)．解析：异面直线m，n所成的角是60°，在①中，由异面直线m，n所成的角是60°，在m上任取一点A，过A作直线n′∥n，在空间中过点A能作出直线l，使得l与n，n′的夹角均为60°，∴存在直线l，满足l与m，n的夹角都是60°，故①正确；在②中，在n上取一点B，过B作直线m′∥m，则以m，m′确定的平面α，满足m⊂α，n与α所成的角是60°，故②正确；在③中，在n上取一点C，过C作直线m′∥m，m，m′确定一个平面α，∴过n能作出一个平面β，满足m⊂α，n⊂β，α与β所成锐二面角为60°，故③正确．答案：①②③6．如图所示，四棱锥SABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．(1)求证：BC∥平面SAE；(2)求三棱锥SBCE与四棱锥SABED的体积比．解：(1)证明：因为AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，所以AC＝2，∠BCA＝60°，在△ACD中，AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD，解得CD＝4，所以AC2＋AD2＝CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以AE＝CD＝CE，又∠ACD＝60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE＝60°＝∠BCA，所以BC∥AE，又BC⊄平面SAE...
