考点过关检测（二十三）1．(2020届高三·唐山联考)已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的两点A，B，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．解：(1)由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0.①由Δ1＝16－32k>0，解得k<.直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k>0，解得k>0或k<－2.所以k<－2或0b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过圆E：x2＋y2＝2上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1)因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c，·2c·b＝b2＝3，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)圆E的方程为x2＋y2＝2，设O为坐标原点，①当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x＝，A(，)，B(，－)，所以∠AOB＝90°，所以以AB为直径的圆过坐标原点O(0,0)．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线与相关圆相切，所以d＝＝＝，所以m2＝2＋2k2.联立方程组消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝8(6k2－m2＋3)＝8(4k2＋1)>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，所以OA⊥OB，所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O(0,0)．综合①②可知，以AB为直径的圆恒过坐标原点O(0,0)．3．(2019·柳州联考)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．解：(1)由题意知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－， P(4，m)到焦点的距离等于点P到准线的距离，∴4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)把M(t,4)代入抛物线C的方程，得16＝4t，∴t＝4，∴M(4,4)．由题易知直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x＝ky＋n，联立消去x，得y2－4ky－4n＝0，Δ＝16k2＋16n>0，①设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4n. MD⊥ME，∴MD·ME＝(x1－4，y1－4)·(x2－4，y2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝·－4＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝－(y1＋y2)2＋3y1y2－4(y1＋y2)＋32＝n2－16k2－12n＋32－16k＝0，即n2－12n＋32＝16k2＋16k，得(n－6)2＝4(2k＋1)2，∴n－6＝±2(2k＋1)，得n＝4k＋8或n＝－4k＋4，当n＝4k＋8时，代入①式满足Δ>0，∴直线DE的方程为x＝ky＋4k＋8＝k(y＋4)＋8，直线过定点(8，－4)．当n＝－4k＋4时，代入①式，当k≠2时，Δ>0，此时直线DE的方程为x＝k(y－4)＋4，直线过定点(4,4)，不合题意，舍去．∴直线过定点(8，－4)．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程．(2)动直线l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在．求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a＝b，∴＋＝1.又 椭圆经过点P，将点P的坐标代入椭圆方程得b2＝1，∴a2＝2，故椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意动直线l过点.当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋2＝2；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.由解得即两圆相切于点(0...
