江苏省高三数学 备考冲刺140分 问题08 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

问题8由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.二、经验分享(1)已知Sn，求an的步骤当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．三、知识拓展若数列na满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列na满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、题型分析(一)用累加法求数列的通项【例1.】在数列na中,112a,,则该数列的通项公式na=．【分析】题目已知条件是,且nN）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填4342nn．【点评】当,且nN）满足一定条件时,可用…来求通项na,这种方法通常叫累加法.本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21dnn或21dnn是常数,实际上21dnn或21dnn是个变量,n变化d随之改变.【小试牛刀】数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【解析】(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得,an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2,即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1),即an＋1－an＝2n－1.于是∑(ak＋1－ak)＝∑(2k－1),所以an＋1－a1＝n2,即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1,所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{an＋1－an}的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a1的验证．(二)利用累乘法求数列的通项【例2】设{}na是首项为1的正项数列,且,则na.【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得na与1na的关系式,再用累乘法求解.【解析】 ,∴,由于{}na得各项为正,∴,∴,即11nnanan,∴2112aa,3223aa,4334aa,…,11nnanan,将以上各式相乘得11naan,又11a,∴.【点评】形如1()nnafna型的递推公式常用累乘法.当()fnq为常数且不等于0时,数列为等比数列,11nnaaq；当()fn为n函数时,.本题可思考{}nna为常数数列.【小试牛刀】数列na中，前n项和为nS，2nnnaS(1)求数列na的通项公式；(2)令，证明：.【解析】(1)2nnnaS，，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以3221aa，4332aa，…，112nnanan，相乘得21nana，且当n=1、2时，满足此式，所以.(2)，因为nb2，所以；.(三)用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列na满足：11a，，（*nN），则数列na的通项公式为__________．【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】121nna【解析】由得：，变形得：，所以1{1}na是以2为公比的等比数列，所以，所以121nna.【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性.易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出na.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列...