定点、定值与存在性问题(推荐时间：60分钟)1．过抛物线x2＝4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线相交于点P(x0，y0)，PA·PB＝0.(1)求y0；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F，若FA·FB＋λFP2＝0恒成立，求λ的值．(1)解设A，B(x1≠x2)．由x2＝4y得，y′＝，所以kPA＝，kPB＝，因为PA·PB＝0，所以PA⊥PB，所以kPA·kPB＝·＝－1，即x1x2＝－4.直线PA的方程为y－＝(x－x1)，即y＝－，①同理直线PB的方程为y＝－，②由①②消去x得y0＝＝－1(x1，x2∈R)．(2)证明设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，由根与系数的关系得x1x2＝－4b，由(1)知x1x2＝－4，所以b＝1，所以直线AB的方程为y＝kx＋1，不论k取何值，该直线恒过点(0,1)．(3)解由(1)得：FA＝，FB＝，P，FP＝，x1x2＝－4.FA·FB＝x1x2＋＝－2－，FP2＝＋4＝＋2.所以FA·FB＋FP2＝0.故λ＝1.2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.∴a＝2，c＝.椭圆的方程为＋x2＝1.(2)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0得x－＝0⇒y＝4x.又A(x1，y1)在椭圆上，所以x＋＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝|x1|·2|y1|＝1.②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，代入＋x2＝1，得：(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.有Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得x1x2＋＝0⇔x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中可得b2>0满足题意，∴S＝·|AB|＝|b|＝＝＝1.所以△ABC的面积为定值1.3．如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.①此时x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则MP·MQ＝0对满足①式的m，k恒成立．因为MP＝，MQ＝(4－x1,4k＋m)，由MP·MQ＝0，得＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.4．如图，抛物线C1：y2＝4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C1、C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)过A点作直线l交C1于C、D两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点．①求证：O点在以EF为直径的圆的内部；②记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使得S2＝3S1？请说明理由．解(1)因为y2＝4x，所以焦准距p＝2，由抛物线C1与椭圆C2的长半轴相等知a＝2.因为S△OAB＝×|OA|×yB＝，所以yB＝，代入抛物线方程求得B，又B点在椭圆上，代入椭圆方程解得b2＝3.故椭圆C2的标准方程是：＋＝1.(2)①因为直线l不垂直于y轴，故设直线l的方程为x＝my＋2，由得：y2－4my－8＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，故y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，故x1x2＝×＝4.故OC·OD＝x1x2＋y1y2＝4－8＝－4<0，故∠COD>90°，又∠EOF＝∠COD，故∠EOF>90°，所以O点在以EF为直径的圆的内部．②＝＝＝×.直线OC的斜率为＝，故直线OC的方程为：x＝，由得y＝，同理y＝.所以yy＝＝＝，2＝＝.因为m∈R，故≥，所以≥>3.故不存在直线l使得S2＝3S1.
