概率与统计(推荐时间：70分钟)1．某学院为了调查本校学生2013年5月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．解(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.∴Y的分布列为Y012P∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.2．改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，…，2012年编号为10.数据如下：年份(x)12345678910人数(y)35811131417223031(1)从这10年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．解(1)设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A，则P(A)＝1－＝.(2)由已知数据得＝3，＝8，iyi＝3＋10＋24＋44＋65＝146，＝1＋4＋9＋16＋25＝55.则b＝＝2.6，a＝8－2.6×3＝0.2.则线性回归方程为y＝2.6x＋0.2，则第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值为|2.6×8＋0.2－22|＝1.3．某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个题目，该学生答对A、B两题的概率分别为和，两题全部答对方可进入面试，面试要回答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为，至少答对一题即可被聘用(假设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的)．(1)求该学生被公司聘用的概率；(2)设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解设正确回答A、B、甲、乙各题分别为事件A、B、C、D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝P(D)＝.(1)该学生被公司聘用的概率为P(AB)·[1－P()]＝×＝.(2)由题意可知ξ的取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝P()＝·＝，P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＝·＋·＝，P(ξ＝2)＝P(AB)×P()＝×××＝，P(ξ＝3)＝P(AB)[P(C)＋P(D)]＝×＝，P(ξ＝4)＝P(AB)P(CD)＝×××＝.∴ξ的分布列为ξ01234P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.4．现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号)，从中随机抽取n根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9)．再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．(1)当n＝3时，记事件A＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)；(2)当n＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，①求ξ的分布列；②令η＝－λ2ξ＋λ＋1，E(η)>1，求实数λ的取值范围．解(1)事件A为随机事件，P(A)＝＝.(2)①ξ可能的取值为2,3,4,5,6.P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.∴ξ的分布列为ξ23456P②E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4. η＝－λ2ξ＋λ＋1，∴E(η)＝－λ2E(ξ)＋λ＋1＝－4λ2＋λ＋1， E(η)>1，∴－4λ2＋λ＋1>1⇒0<λ<.5．通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：空气质量一级二级超标日均值(微克/立方米)35以下35～7575以上某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．PM2.5日均值(微克/立方米)(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．解(1)从茎叶图可知，空气质量为...
