圆锥曲线(推荐时间：70分钟)1．如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．解(1)设椭圆的半焦距为c.由题意可知，△AF1F2为等边三角形，所以b＝c，b2＝3c2，a2＝4c2，a＝2c，所以e＝.(2)方法一因为a2＝4c2，b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－(x－c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B.所以|AB|＝·＝c.由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.方法二设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝a.由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.2．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，点C在x轴上方．(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．解(1)设椭圆方程为＋＝1，c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，椭圆方程为＋＝1.(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，由方程组得3x2－4mx＋2m2－4＝0，即若Q恰在以MN为直径的圆上，则·＝－1，则m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，3m2－4m－5＝0，解得m＝.将m值代入Δ＝－8m2＋48>0.∴m＝3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，由根与系数的关系知又AP＝2PB，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝>0，得0.∴m的取值范围为∪.4．已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为(－2,0)，若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA·QB＝4，求直线l的方程．解(1)由题意可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)则a＝2，e＝.∴c＝，b2＝1.∴椭圆C2的方程为＋y2＝1.(2)由A(－2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，由－2x1＝，得x1＝，从而y1＝，设线段AB的中点为M，则M的坐标为.①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA＝(－2，－y0)，QB＝(2，－y0)，由QA·QB＝4，得y0＝±2.∴l的方程为y＝0.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0，解得y0＝－，由QA＝(－2，－y0)，QB＝(x1，y1－y0)，QA·QB＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋＝4，整理得7k2＝2，故k＝±，∴l的方程为y＝±(x＋2)．5．已知B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴，B.(1)求椭圆E的方程；(2)设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|＝4，P是l上异于点D的任意一点．直线A1P交椭圆E于M(不同于A1，A2)，设λ＝A2M·A2P，求λ的取值范围．解(1)依题意半焦距c＝1，左焦点为F′(－1,0)．则2a＝|BF|＋|BF′|，由B，|BF|＝，由距离公式得|BF′|＝，2a＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝22－12＝3.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知，A1(－2,0)，A2(2,0)．设M(x0，y0)． M在椭圆E上，∴y＝(4－x)．由P，M，A1三点共线可得P.∴A2M＝(x0－2，y0)，A2P＝.∴A2M·A2P＝2(x0－2)＋＝(2－x0)， －2
