专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()Axy，和22()Bxy，之间的距离可以用公式221212()()ABxxyy计算．利用这个公式计算原点到直线210yx的距离．解：设(210)Pxx，是直线210yx上的任意一点，它到原点的距离是当4x时，25OP最小．所以原点到直线210yx的距离为25．【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC的三边长分别为22mn、2mn和22mn（m、n为正整数，且mn）．求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)mnmnmnmn，也就是说，ABC的三边满足勾股定理，即ABC是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为：()()()Sppapbpc．解：由三边的关系：2222222()(2)()mnmnmn．所以ABC是直角三角形．所以ABC的面积22221()(2)()2mnmnmnmn．【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线ybxc与抛物线2yax相交，两交点的横坐标分别为1x、2x，直线ybxc与x轴的交点的横坐标为3x．求证：312111xxx．【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解： 直线ybxc与x轴的交点的横坐标为3x，∴30bxc．∴3cxb．31bxc． 直线ybxc与抛物线2yax两交点的横坐标分别为1x、2x，∴1x、2x为关于x的一元二次方程20axbxc的两个不等实根．∴12bxxa，12cxxa．∴12121211bxxbacxxxxca．∴312111xxx．例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”5．现在的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是我们只需要在图中找出来一段边长为5的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”...
