时间序列分析方法之谱分析VIP免费

第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止，时刻变量的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间序列的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时间序列数值的方法，这里表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。§6.1母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设是一个具有均值的协方差平稳过程，第个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页gY(z)=∑j=−∞+∞γjzj这里z表示复变量。将上述函数除以2π，并将复数z表示成为指数虚数形式z=exp(−iω)，i=√−1，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：sY(ω)=12πgY(e−iω)=12π∑j=−∞+∞γje−iωj注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差γj的序列{γj}−∞+∞，原则上都可以计算sY(ω)的数值。利用DeMoivre定理，我们可以将e−iωj表示成为：e−iωj=cos(ωj)−isin(ωj)因此，谱函数可以等价地表示成为：sY(ω)=12π∑j=−∞+∞γj[cos(ωj)−isin(ωj)]注意到对于协方差平稳过程而言，有：γj=γ−j，因此上述谱函数化简为：sY(ω)=12πγ0[cos(0)−isin(0)]+12π{∑j=1+∞γj[cos(ωj)+cos(−ωj)−isin(ωj)−isin(−ωj)]}利用三角函数的奇偶性，可以得到：sY(ω)=12π{γ0+2∑j=1+∞γjcos(ωj)}假设自协方差序列{γj}−∞+∞是绝对可加的，则可以证明上述谱函数sY(ω)存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。由于对任意2πk，有：sY(ω+2πk)=sY(ω)，因此sY(ω)是周期函数，如果我们知道了[0,π]内的所有sY(ω)的值，我们可以获得任意ω时的sY(ω)值。§6.2不同过程下母体谱的计算假设随机过程{Yt}−∞+∞服从MA(∞)过程：Yt=μ+ψ(L)εt这里：ψ(L)=∑j=0∞ψjLj，∑j=0∞|ψj|<∞，E(εtεs)=¿{σ2,s=t¿¿¿¿根据前面关于MA(∞)过程自协方差生成函数的推导：gY(z)=σ2ψ(z)ψ(z−1)因此得到MA(∞)过程的母体谱为：sY(ω)=12πσ2ψ(e−iω)ψ(eiω)例如，对白噪声过程而言，ψ(z)=1，这时它的母体谱函数是常数：sY(ω)=σ22π下面我们考虑MA(1)过程，第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页Yt=εt+θεt−1此时：ψ(z)=1+θz，则母体谱为：sY(ω)=12πσ2(1+θe−iω)(1+θeiω)¿12πσ2(1+θe−iω+θeiω+θ2)可以化简成为：显然，当θ>0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递减函数；当θ<0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递增函数。对AR(1)过程而言，有：Yt=c+φYt−1+εt这时只要|φ|<1，则有：ψ(z)=1/(1−φz)，因此谱函数为：sY(ω)=12πσ2(1−φe−iω)(1−φeiω)=12πσ2(1−φe−iω−φeiω+φ2)¿12πσ2[1+φ2−2φcos(ω)]该谱函数的性质为：当φ>0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递增函数；当φ<0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递减函数。一般地，对ARMA(p,q)过程而言：Yt=c+φ1Yt−1+φ2Yt−2+⋯+φpYt−p+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+⋯+θqεt−q则母体谱函数为：sY(ω)=σ22π(1+θ1e−iω+θ2e−i2ω+⋯+θqe−iqω)(1−φ1e−iω−φ2e−i2ω−⋯−φpe−ipω)¿(1+θ1eiω+θ2ei2ω+⋯+θqeiqω)(1−φ1eiω−φ2ei2ω−⋯−φpeipω)如果移动平均和自回归算...