必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么提示：向量可以平移.举例1已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量ABuuur按向量(1,3)ar平移后得到的向量是_____.结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与ABuuur共线的单位向量是||ABABuuuruuur）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量ar、br叫做平行向量，记作：ar∥br，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)；④三点ABC、、共线ABACuuuruuur、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.ar的相反向量记作ar.举例2如下列命题：（1）若||||abrr，则abrr.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若ABDCuuuruuuur，则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，则ABDCuuuruuuur.（5）若abrr，bcrr，则acrr.（6）若//abrr，//bcrr则//acrr.其中正确的是.结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如ABuuur，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如ar，br，cr等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ijrr为基底，则平面内的任一向量ar可表示为(,)axiyjxyrrr，称(,)xy为向量ar的坐标，(,)axyr叫做向量ar的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设12,eerr同一平面内的一组基底向量，ar是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)，使1122aeerrr.（1）定理核心：1122aλeλerrr；（2）从左向右看，是对向量ar的分解，且表达式唯一；反之，是对向量ar的合成.（3）向量的正交分解：当12,eerr时，就说1122aλeλerrr为对向量ar的正交分解．举例3（1）若(1,1)ar，(1,1)br，(1,2)cr，则cr.结果：1322abrr.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.1(0,0)er，2(1,2)erB.1(1,2)er，2(5,7)erC.1(3,5)er，2(6,10)erD.1(2,3)er，213,24er（3）已知,ADBEuuuruuur分别是ABC△的边BC，AC上的中线,且ADauuurr，BEbuuurr,则BCuuur可用向量,abrr表示为.结果：2433abrr.（4）已知ABC△中，点D在BC边上，且2CDDBuuuruuur，CDrABsACuuuruuuruuur，则rs的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数与向量ar的积是一个向量，记作ar，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||aarr；（2）方向：当0时，ar的方向与ar的方向相同，当0时，ar的方向与ar的方向相反，当0时，0arr，注意：0ar.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量ar，br，作OAauuurr，OBbuuurr，则把(0)AOB称为向量ar，br的夹角.当0时，ar，br同向；当时，ar，br反向；当2时，ar，br垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量ar，br，它们的夹角为，我们把数量||||cosabrr叫做ar与br的数量积（或内积或点积），记作：abrr，即||||cosababrrrr.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4（1）ABC△中，||3ABuuur，||4ACuuur，||5BCuuur，则ABBCuuuruuur_________.结果：9.（2）已知11,2ar，10,2br，cakbrrr，dabrrr，cr与dr的夹角为4，则k____.结果：1.（3）已知||2ar，||5br，3abrr，则||abrr____.结果：23.（4）已知,abrr是两个非零向量，且||||||ababrrrr，则ar与abrr的夹角为____.结果：30o.3.向量br在向量ar上的投影：||cosbr，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知||3ar，||5br，且12abrr，则向量ar在向量br上的投影为______.结果：125.4.abrr的几何意义：数量积abrr等于ar的模||ar与br在ar上的投影的积.5.向量数量积的性...
