圆锥曲线的标准方程一、基础题1．求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy．解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay．由已知ba2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy．（2）设方程为12222byax．由已知，3c，3cb，所以182a．故所求方程为191822yx．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay．2．根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解：（1）设双曲线方程为122nymx， P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm∴所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2） 焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60） 双曲线经过点（－5，2），∴16425，∴5或30（舍去），∴所求双曲线方程是1522yx（3）设所求双曲线方程为：160141622yx， 双曲线过点223，，∴1441618∴4或14（舍），∴所求双曲线方程为181222yx说明：与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法．3．求与双曲线191622yx共渐近线且过332，A点的双曲线方程及离心率．解法一：双曲线191622yx的渐近线方程为：xy43（1）设所求双曲线方程为12222byax， 43ab，∴ab43① 332，A在双曲线上∴191222ba②由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222bxay， 43ab，∴ab34③ 332，A在双曲线上，∴112922ba④由③④得492a，42b，∴所求双曲线方程为：144922xy且离心率35e解法二：设与双曲线191622yx共渐近线的双曲线方程为：091622yx 点332，A在双曲线上，∴41991612，∴所求双曲线方程为：4191622yx，即144922xy．说明：（1）不难证明与双曲线191622yx共渐近线的双曲线方程091622yx．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程02222byax．4．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)yx2125．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为二、解答题6．求以曲线0104222xyx和222xy的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．解： 2201042222xyxyx，∴23yx或23yx，∴渐近线方程为xy32当焦点在x轴上时，由32ab且6a，得4b．∴所求双曲线方程为1163622yx当焦点在y轴上时，由32ba，且6a，得9b．∴所求双曲线方程为1813622xy说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．7．已知双曲线的渐近线方程为023yx，两条准线间的距离为131316，求双曲线标准方程．解： 双曲线渐近线方程为xy32，∴设双曲线方程为019422yx（1）若0，则42a，92b，∴准线方程为：131342cax，∴13131613138，∴4（2）若0，则92a，42b，∴准线方程为：131392cay，∴131316131318，∴8164，∴所求双曲线方程为：1361622yx或12568164922xy8．中心在原点，一个焦点为01，F的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为12222byax，则mbacba221222，解得11122222mbmma∴111122222mymmx为所求双曲线的标准方程．9．求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点31，P且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：0122kkykx，则1312kk，∴191kk，∴8k，∴所求双曲线方程为18822xy说明：（1）离心率2e是双曲线的等轴双曲线的充要条件，证明如下：设等轴双曲线0222mmyx...
