第1讲角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o90EDACB且045CABCBEACD≌，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等;图1-1-1图1-1-2图1-1-3图1-1-42.如图1-1-2，o90EDACBCBEACD∽，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似;3.如图1-1-3，o90EDACBCBEACD∽，此为更一般的“一线三等角”.二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比；相似三角形的对应线段成比例.三、正切的定义如图1-1-4，在ABCRt中，baAtan，即A的正切值等于A的对边与A的邻边之比；同理，abBtan，则1tantanBA，即互余两角的正切值互为倒数.方法提炼一、基本策略：联想构造二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-1角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2；αααDEDECAACBB图1-2-2α=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.方式（三）：整体旋转法（*）DACDEA→DA2=DC?DE→DG2+AG2=DC?DE动动定定定定定定定定定GACBBCAACBDDE图1-2-3图1-2-4图1-2-5图1-2-6图1-2-7图1-2-8图1-2-10图1-2-11图1-2-12yx3344A'E'AEO前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1已知点A（3，4），将点A绕原点O顺时针方向旋转45o角，求其对应点A’的坐标.简析第一步（“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB⊥y轴于点B，则AB=3，OB=4，点A绕原点O顺时针方向旋转45o得到点A’，可看成Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转45o得到Rt△OA’B‘，则A’B’=8，OB’=4，且∠BOB’=45o；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt△OAB,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△OCB∽Rt△BDA；事实上,Rt△OCB与Rt△BDA都是等腰直角三角形,于是有OC=BC=22,BD=AD=232,故点A的坐标为722(,)22；问题2已知点(4,6)A,将点A绕原点O顺时针方向旋转a角,其中tana=12,求其对应点A的坐标.简析第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB⊥y轴于点B,则AB=4,OB=6,将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt△OAB,则AB=4,OB=6,且tan∠BOB=tana=12；图1-2-9图1-2-13图1-2-14第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt△OAB,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△OCB∽Rt△BDA，于是有BC=565,OC=5125,AD=545,BD=585,故点A的坐标为55(,)55148.问题3已知点(,)Aab,将点A绕原点O顺时针方向旋转a角,求其对应点A的坐标.简析不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB⊥y轴于点B,则AB=a,OB=b,将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt△OAB,则AB=a,OB=b,且∠BOB=a；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt△OAB,作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△OCB∽Rt△BDA，于是有BC=sinba,OC=cosba,AD=sinaa,BD=cosaa,故点A的坐标为(,)cossincossinaababaaa.例1(2017日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为_______。xy图1-3-1BAOxy2tt2图1-3-2DCBAO简析由题可知，△OAB为等腰直角三角形；如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt△OAD≌Rt△ABC；设OD=AC=t，则A(，t)，B(，...
