清华自主招生数学创新试题汇编VIP免费

第1页共38页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共38页清华自主招生数学创新试题汇编1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）定理:若均为正数,则有成立(其中．请你构造一个函数，证明：当均为正数时，．解：（Ⅰ）令得…2分当时，故在上递减．当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分（Ⅱ）由，有即故．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：第2页共38页第1页共38页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共38页只要证：设…………………7分则令得…………………………………………………….8分当时，故上递减，类似地可证递增所以的最小值为………………10分而===由定理知:故第3页共38页第2页共38页aaaa编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共38页故即:.…………………………..14分2、用类比推理的方法填表等差数列中等比数列中b3=b2⋅qb3⋅b4=b2⋅b5答案：b1⋅b2⋅b3⋅b4⋅b5=b353、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A．nB．n+1C．n-1D．n2答案：D4、若f(n)为n2+1(n∈N∗)的各位数字之和，如：142+1=197，1+9+7=17，则f(14)=17;记f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,f则2008(8)=____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；aaaaaa√2a√2a第4页共38页第3页共38页SABCDEFGH编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共38页（2）若SA¿面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分证明： SA⊥AB,SA⊥AD,且AB、AD是面ABCD内的交线∴SA¿底面ABCD……………………5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG而由SA¿面ABCD得SA¿CD，又AD¿CD，∴CD¿面SAD，∴CD⊥AF又SA=AD,F是中点，∴AF⊥SD∴AF⊥¿¿面SCD,EG¿面SCD,∴面SEC⊥¿¿面SCD所以二面角E-SC-D的大小为90∘…………10分(3)作DH¿SC于H， 面SEC¿面SCD,∴DH¿面SEC,∴DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 在RtΔSCD中，DH=SD⋅DCSC=√2a⋅a√3a=√63a答：点D到面SEC的距离为√63a………………………14分6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2）从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。解（1）第5页共38页第4页共38页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共38页（2）先用累乖法得得7、在△ABC中，B(−2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2=25②△ABC面积为10C2：x2+y2=4(y≠0)③△ABC中，∠A=90°C3：x29+y25=1(y≠0)则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号C1、C2、C3填入）答案：C3C1C28、已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列g[f(x)]的表格,其三个数依次为A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1x123f（x）231x123g（x）132x123g(f（x）)第6页共38页第5页共38页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共38页答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（C）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.B.1C.6D.1210、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则_____________；使成立的x的取值范围是_____________答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题...