1三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)yaxbxcxda的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数232(0)yaxbxca，把2412bac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。一般地，当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数；当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。（根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。23、三次方程根的问题。（1）当△=01242acb时，由于不等式0)(xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=01242acb时，由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx，不妨设21xx，可知，))(,(11xfx为函数的极大值点，))(,(22xfx为极小值点，且函数)(xfy在),(1x和),(2x上单调递增，在21,xx上单调递减。此时：①若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：max0,,fxfmfxfn；。三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：3①式无解，②式的解为5543a，因此a的取值范围是5543，.例2、已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')(（其中C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由Cxxfxxf2332')(，得132'23)('2xfxxf．取32x，得13232'232332'2ff，解之，得132'f，∴Cxxxxf23)(．从而1313123)('2xxxxxf，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗4∴)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．（2）由（1）知，CCfxf27531313131)]([23极大值；CCfxf1111)1()]([23极小值．∴方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([极大值xf或0)]([极小值xf．⋯⋯⋯8分∴常数275C或1C．（3）由（2）知，275)(23xxxxf或1)(23xxxxf．而031f，所以1)(23xxxxf．令01)(23xxxxf，得0)1()1(2xx，11x，12x．∴所求封闭图形的面积11231dxxxx11234213141xxxx34．例3、（恒成立问题）已知函数3211()32fxxxcxd有极值．（1）求c的取值范围；（2）若()fx在2x处取得极值，且当0x时，21()26fxdd恒成立，求d的取值范围．解：（1） 3211()32fxxxcxd，∴2()fxxxc，要使()fx有极值，则方程2()0fxxxc有两个实数解，从而△＝140c，∴14c．（2） ()fx在2x处取得极值，∴(2)420fc，∴2c．∴3211()232fxxxxd， 2()2(2)(1)fxxxxx，∴当(,1]x时，()0fx，函数单调递增，当x(1,2]时，()0fx，函数单调递减．∴0x时，()fx在1x处取得最大值76d， 0x时，21()26fxdd恒成立，5∴76d2126dd，即(7)(1)0dd，∴7d或1d，即d的取值范围是(,7)(1,)U．例4、（信息迁移题）对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda。定义：（1）()fx...
