专题2.3.1平面向量基本定理重难点题型【举一反三系列】【知识点1平面向量基本定理】1．平面向量基本定理如果12,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a，有且只有一对实数12,，使1122aee，称1122ee为12,ee的线性组合.①其中12,ee叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,ee的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122aee且''1122aee，那么1122.③当基底12,ee是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e、2e，平面上的任何一个向量a都可以用1e、2e唯一表示为a=11e+22e，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e、2e的代数运算．【知识点2向量的夹角】已知两个非零向量a与b，在平面上任取一点O，作OAa，OBb，则00(0180)AOB叫做a与b的夹角，记为〈a，b〉．当向量a与b不共线时，a与b的夹角000,180；当向量a与b共线时，若同向，则00；若反向，则0180，综上可知向量a与b的夹角000,180．当向量a与b的夹角是90，就说a与b垂直，记作ab．注：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量ab是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．【考点1平面向量基本定理的理解】【例1】（2019秋?苏州期末）设1e、2e是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是()A．12ee和12eeB．122ee和212eeC．1232ee和2146eeD．2e和12ee【分析】由1e、2e是两不共线的向量，知12ee和12ee不共线，1232ee和2146ee共线，2e和12ee不共线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．【答案】解：在A中，12,ee是两不共线的向量，12ee和12ee不共线，12ee和12ee能作为平面向量的一组基底．在B中，12,ee是两不共线的向量，122ee和212ee不共线，122ee和212ee能作为平面向量的一组基底．在C中，12,ee是两不共线的向量，1232ee和2146ee共线，1232ee和2146ee不能作为平面向量的一组基底在D中，12,ee是两不共线的向量，2e和12ee不共线，2e和12ee能作为平面向量的一组基底．故选：C．【点睛】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的向量不能作为平面向量的一组基底．【变式1-1】设1e、2e是平面内的两个向量，则有()A．1e、2e一定平行B．1e、2e的模相等C．对同一平面内的任一向量a，都有12(,)aeeRD．若1e、2e不共线，则对平面内的任一向量a都有12(,)aeeR【分析】利用平面向量基本定理解答．【答案】解：由已知，1e、2e是平面内的两个向量不一定平行，向量长度不一定相等，即模不一定相等；所以A，B错误；同理，如果1e、2e是平面内的两个共线向量，C错误；由平面向量基本定理可得，D正确；故选：D．【点睛】本题考查了平面向量基本定理的运用，基底的选择必须时不共线的两个向量．【变式1-2】（2019?福田区校级模拟）如果1e，2e是平面a内所有向量的一组基底，那么()A．若实数1，2使11220ee，则120B．空间任一向量可以表示为1122aee，这里1，2RC．对实数1，2，1122ee不一定在平面内D．对平面中的任一向量a，使1122aee的实数1，2有无数对【分析】根据基底的定义可以知道，平面上的任何一个向量都可以用这组基底来表示，并且，用基底表示的向量一定在这个平面上，把向量用基底表示时，对应的实数对是唯一确定的．【答案】解：由基底的定义可知，1e和2e是平面上不共线的两个向量，实数1，2...
