习题答案2p.58习题3.12.在球面2222{(,,)|1}Sxyzxyz上，命(0,0,1)N，(0,0,1)S.对于赤道平面上的任意一点(,,0)puv，可以作为一的一条直线经过,Np两点，它与球面有唯一的交点，记为p.(1)证明：点p的坐标是2221uxuv，2221vyuv，222211uvzuv，并且它给出了球面上去掉北极N的剩余部分的正则参数表示；(2)求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示；(3)求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4)证明球面是可定向曲面.证明.(1)设(,)ruvOpuuuvv.如图，,,Npp三点共线，故有tR使得(1)OptOptONuuuvuuvuuuv.(1)由于21OpONuuuvuuuv，222uvOpuuv，0OpONuuuvuuuv，0t，取上式两边的模长平方，得222/(1)tuv.从而22222222221,,111uvuvuvuvuv，2(,)uvR.(2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)rOptNpONtuvtutvtuuuvuuuvuuuvv，又2()dttuduvdv，所以2(,,1)(1,0,0)urtuuvtv，2(,,1)(0,1,0)vrtvuvtv，22222(,,()1)(,,1)0ttutvtuvttutvttrvv.(3)因此(,)rruvvv给出了2{}SN的正则参数表示.(2)令(,,0)quv是,Sp两点连线与赤道平面的交点.同理，有(1)(,,1)OptOqtOStutvtuuuvuuvuuuv，222/(1)tuv，22222222221(,,),,111uvuvrxyzOpuvuvuvuuuv，2(,)uvR.(4)2(,,1)(1,0,0)urtuuvtv，2(,,1)(0,1,0)vrtvuvtv，22222(,,1())(,,1)0ttutvtuvttutvttrvv.(5)因此(4)给出了2{}SS的正则参数表示.(3)由(2)和(4)式可得2222()()1uvuv，从而上面两种正则参数表示在公共部分2{,}SNS上的参数变换公式为22uuuv，22vvuv.(6)由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()uvtuvuvtuvuv.所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注.如果采用复坐标，令,zuivwuiv，则上面的参数变换可写成1/wz.这就是广义复平面上的共形变换.(4)在2{}SN上采用(1)式给出的正则参数表示，在2{}SS上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为22uuuv%，22vvuv%.(4)由于22\{},\{}SNSS构成2S的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()vuuvuvuvuvvuuvuvuvuvuv%%，所以2S是可定向的.□5写出单叶双曲面2222221xyzabc和双曲抛物面22222xyzab作为直纹面的参数方程.解.(1)对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos,sin,0)auaubuv，(0,2)u为准线.设直母线的方向向量为()(),(),()luaXubYucZuv.则直纹面的参数方程为(,)()()(cos()),(sin()),()ruvauvluauvXubuvYucvZuvvv.由于(,)ruvv的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos())(sin())(())1uvXuuvYuvZu，vR.由v得任意性得到cos()sin()0uXuuYu，222()()()XuYuZu.因此():():()sin:cos:1XuYuZuuu.取()sin,cos,luaubucv得(,)(cossin),(sincos),ruvauvubuvucvv，(,)(0,2)uvR.(2)对双曲抛物面，令()xauv，()ybuv，则2zuv.曲面的参数方程为(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)aubuvabuavbvuabv，2(,)uvR.p.94习题3.21.证明：一个正则参数曲面S是球面它的所有法线都经过一个固定点.证明.“”设S是球面，参数方程为(,)ruvv，球心为av，半径为R.则有22((,))ruvaRvv，,uvD.(1)微分可得()0urravvv，()0vrravvv.(2)所以()//uvrarrvvvv，从而uvrarrvvvv，即有函数(,)uv使得(,)(,)[(,)][(,)]uvaruvuvruvruvvvvv.(3)这说明球心av在它的所有法线上.“”设S的所有法线都经过一个固定点av.则有函数(,)uv使得(3)式成立，即有uvrarrvvvv.分别用,uvrrvv作内积，可得(2).这说明2()0dravv，从而(1)式成立，其中0R(否则S只是一个点，不是正则曲面)是常数.因此S是以av为球心，以R为半径的球面，或球面的一部分.□3.证明：一个正则参数曲面S是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交.证明.“”设S是旋转面，旋转轴L为z轴.它的参数方程为(,)()cos,()sin,()ruvfvufvugvv，(()0)fv.因为()sin,cos,0urfvuuv，()cos,()sin,()vrfvufvugvv，()()cos,()sin,()uvrrfvgvugvufvvv，所以S上任意一点(,)ruvv处的法线N的参数方程为()(,)[(,)(,)]uvXtruvtruvruvuuvvvv.由于z轴的参数方程为()(0,0,1)Yssskuvv，并且()cos()sin()()0()cos()sin(),,001uvfvufvugvfvgvugvufvrrrkvvvv，所以L与N共面.如果L与N处处平行，则()//uvrrkvvv，从而()0gv.此时S是垂直于z轴的平面()zgvc.所以当S不是垂直于z轴的平面时，旋转面S的所有法线都与z轴相交.“”通过选取坐标系，...
