北京中考数学专题复习圆与相似的综合题一、相似1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，SEFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm， 矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即=，=， BE+AE=AB，∴+=+=1，解得x=，∴AK=，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x， EHGF为矩形，∴=，即EF=x，∴SEFGH=y=x?（24-x）=-x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=-x2+16x配方得：y=（x-12）2+96，∴当x=12时，SEFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。2．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．【答案】（1）证明： 直径AB经过弦CD的中点E，，=,即是的切线（2）解：猜想：MN∥AB．证明：连结CB． 直径AB经过弦CD的中点E，∴=,=,∴ ∴∴ ∴ ∴∴∴MN∥AB．【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.（1）填空：点B的坐标为________；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值【答案】（1）（2）解：存在，理由如下： OA=2,OC=2， tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,∠ACB=60°①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30°,∴∠DBC=∠BCD=60°,∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中， ∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC-CD=4-2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2.（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。 A(0.2)和C(23,0)，∴直线AC的解析式为y=-33x+2，设D（a，-33a+2），∴DN=-33a+2,BM=23-a ∠BDE=90°,∴∠BDM+∠NDE=90°,∠BDM+∠DBM=90°,∴∠DBM=∠EDN, ∠BMD=∠DNE=90°,∴△BMD~△DNE,∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.②如图（2）中，作DH⊥AB于H。在Rt△ADH中， AD=x，∠DAH=∠ACO=30°,∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，∴BH=23-32x，在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,∴DE=33BD=33·12x2+23-32x2,∴矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,∴y=33x-32+3 33>0,∴x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】（1） 四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=，∠BCO=∠BAO=90°,∴B（，2）【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。（2）根据点A、C的坐标，求出∠...
