76第4章线性代数模型4.1行列式与矩阵本节案例主要涉及线性代数中矩阵与方阵的行列式等概念，通过案例建立数学模型，加深对行列式、矩阵及矩阵运算等相关知识的进一步理解以及了解这些概念的实际应用。4.1.1过定点的多项式方程的行列式1.问题提出求通过空间中三个点(1,2,3)，(3,5,6)，(2,2,4)的平面方程。2.模型建立与求解已知三个点可以确定一个平面，设平面方程为+0axbyczd，而三个点在这个平面上，所以它们均满足这个平面方程，因而有0,230,3560,2240.axbyczdabcdabcdabcd这是一个以,,,abcd为未知量的齐次线性方程组，且,,,abcd不全为0，说明该齐次线性方程组必有非零解，于是系数行列式等于零，即11231035612241xyz，从而得到平面方程为3340xyz。计算的MATLAB程序如下：clc,clear,symsxyzD=[x,y,z,1;1,2,3,1;3,5,6,1;2,2,4,1];s=det(D)3.模型拓展对于n次多项式2012nnyaaxaxaxL，其系数为011,,,naaaL，可由其曲线上1n个横坐标互不相同的点112211(,),(,),,(,)nnxyxyxyL所唯一确定。因为1n个点满足这个多项式，则有201121112012222220112111,,.nnnnnnnnnnaaxaxaxyaaxaxaxyaaxaxaxyLLLLLLLLLLLLLLLL这是一个含有1n个方程，以011,,,naaaL为1n个未知量的线性方程组，其系数行列式为7721112222221111111nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxLLMMMMLL.(4.1)这是一个范德蒙行列式。当121,,,nxxxL互不相同时，0D，由克拉默法则，可解出唯一的01,,,naaaL，所以n次多项式01nnyaaxaxL可由其曲线上的1n个横坐标互不相同的点112211(,),(,),,(,)nnxyxyxyL所唯一确定。该多项式方程为11122211111011nnnnnnnxxyxxyxxyxxyLLLMMMML.4.1.2循环比赛名次模型例4.1图4.1给出了6支球队的比赛结果，即1队战胜2，4，5，6队，而输给了3队；5队战胜3，6队，而输给1，2，4队等等。试给出6支球队的一个排名顺序。123456图4.1球队的比赛结果解若胜一场记1分，则6支球队的比赛得分情况见表4.1。表4.16支球队的比赛得分情况球队1234561-1011120-0111311-1004000-1150010-1600100-通常的方法是计算各队的得分，从高到低排名次，则上面6支球队的得分是1[4,3,3,2,2,1]Ts.按得分计算，球队1排名第一，球队2，3并列第二，⋯⋯。这种方法有两个缺点：第一是不能区分球队2与球队3的高低（因为不计算小分）；第二是没有考虑所打败对手的强弱，因为不论你战胜的是强队还是弱队，都得1分。那么，如何确定一种方法，使排名更合理呢？如何考虑对手的强弱，首先要回答一个问题—用什么指标刻画对手的强弱？从直观上讲，78所谓对手强，就是对手战胜的队多，对手弱就是对手战胜的队少，那么将对手的得分也记录到自己队的得分中，即所谓的二级得分。这样考虑问题要比直接考虑得分更合理，这里计算一下二级得分2[8,5,9,3,4,3]Ts.按这种计算方法，球队3排名第一，球队1排名第二，⋯⋯。这看起来是合理的，但所说的问题并没有根本解决。因为这里只考虑每个队它的对手得分，而没有考虑每个队它对手的对手得分，也就是说，评判对手强弱的计算公式不合理。为了合理的解决这个问题，需要考虑每个队对手的对手得分，即三级得分。那么同样的问题，还有四级得分、五级得分⋯⋯。看一下各队各级的得分。3[15,10,16,7,12,9]Ts，4[38,28,32,21,25,16]Ts，5[90,62,87,41,48,32]Ts，6[183,121,193,80,119,87]Ts.看来各队名次的排列有点波动，例如球队3和球队1竞争第一名的情况就是这样。如何确定他们的名次呢？再对各队的得分进行分析。将各队比赛的得分情况构造矩阵010111000111110100000011001001010000A同时构造列向量[1,1,1,1,1,1]Te，它可以看成各队的实力，比赛前，认为6个队是相同的。那么第一级得分为1esA，1s也可以被看成各队的实力，比赛以后就不同了。而二级以后的得分如下221sAsAe，23321sAsAsAe，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1kkksAsAeL，最合理的情况应考虑极限情况，即limiiAes.式中，是矩阵A的最大特征值，s是对应于的特征向量。可以证明在满足一定的条件下，上述极限是存在的。因此，名次排列问题就转化为求得分矩阵的最大特征值和对应的特征向量。对于前面的问题，其最大特征值为2.2324，相应的特征向量为[0.2379,0.1643,0.2310,0.1135,0.1498,0.1035]Ts...
