解排列组合应用题的十三种策略及常现背景VIP免费

第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页解排列组合应用题的十二种策略导与练排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。例1（2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有种。（以数字作答）。分析：本题只要用两个基本原理即可解决。解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，由乘法原理C14C41C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41C12C11=48种方法。从而再由加法原理，得24+48=72种方法。故应填72。二、特殊元素（位置）优先例2从a,b,c,d,e这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A31种方法；再从a,c,d,e中取出3个排另外三个格子有A43种所以此类共有A31⋅A43种。第二类，取出的4个元素中没有b，则!有A44种方法，所以共有A31⋅A43+A44=96种放法.解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A41种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A43种，所以共有A41.A43种放法。解法三：（间接法）A54−A43三、捆绑法例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）AA44⋅A55BA33⋅A44⋅A55CC31⋅A44⋅A55DA22⋅A44⋅A55第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素”先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有A22种方法，又幅油画的不同陈列方式有A44种，幅国画陈列方式有A55种，因而，画展的不同陈列方式有A22⋅A44⋅A55种，故选D.四、插空法例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有C63=20种。练：（1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。（120种）五、排除法例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。故选B。六、对称比例法有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。例6由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个解：全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上出现2，或4的可能性为，在余下的四个数中，万位上出现满足条件的数字的可能性为，故满足条件的五位数共有：××A55=36。故选C。例7用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个D．60个解：五个数字选三个组成的三位数共有A35个，其中2，4为个位数的占，所以满足条件的偶数共有A35=24。故选A。七、多元分类法第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。例8有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A...